- 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법
- 동적 계획법
- 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 함
- 다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑다운과 보텀업)으로 구성
- 최적 부분 구조(Optimal Substructure)
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있음
- 중복되는 부분 문제(Overlappint Subproblem)
- 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 함
- 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있음.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89
- 점화식: 인접한 항들 사이의 관계식
- 피보나치 수열의 점화식
$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}, a_1=1,a_2=1$$
- 프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트를 이용해 표현
# 8-1 210
# 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
def fibo(x):
if x == 1 or x == 2:
return 1
return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
print(fibo(4))
# 3- 시간 복잡도 분석
- 단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게 됨
- f(2)가 여러 번 호출되는 것을 확인(중복되는 부분 문제)
- O(2N)
- N이 30이면 약 10억가량의 연산을 수행
- 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족하는지 확인
- 최적 부분 구조: 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있음
- 중복되는 부분 문제: 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결
- 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법
- 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그래도 가져옴
- 값을 기록해 놓는다는 점에서 **캐싱(Caching)**이라고도 함
- 탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 보텀업 방식은 상향식이라고도 함
- 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식
- 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부름
- 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미
# 8-2 212
# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100
# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
# 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
if x == 1 or x == 2:
return 1
# 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
if d[x] != 0:
return d[x]
# 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
return d[x]
print(fibo(99))
# 218922995834555169026# 8-4 215
# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99
# 피보나치(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
print(d[n])
# 218922995834555169026- 메모이제이션을 이용하는 경우 피보나치 수열 함수의 시간 복잡도는 O(N)
- 다이나믹 프로그래밍 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있음
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
- 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복
- 다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복
- 분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않음
- ex) 퀵 정렬
- 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악
- 가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토
- 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려
- 일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용
- 일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많음