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<title>IRT — Item-Response-Theorie | MethodsLab</title>
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</head>
<body>
<div id="topbar">
<h1>IRT — <em>Item-Response-Theorie</em></h1>
<span style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.7rem;color:var(--ink3);white-space:nowrap">Dr. R. Düsing · Universität Osnabrück</span>
<button class="tbtn tbtn-red" onclick="toggleHelp()">? Hilfe</button>
<button class="tbtn" id="btn-theme" onclick="toggleTheme()">☀ Light</button>
</div>
<!-- HELP OVERLAY -->
<div class="help-overlay" id="help-overlay" onclick="if(event.target===this)toggleHelp()">
<div class="help-panel">
<div class="help-h">IRT — Item-Response-Theorie — Hilfe <button class="help-close" onclick="toggleHelp()">✕ Schließen</button></div>
<div class="help-sh">Was ist IRT?</div>
<p class="help-p">Die <strong>Item-Response-Theorie (IRT)</strong> modelliert, wie die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Antwort von der Fähigkeit einer Person θ (Theta) und den Eigenschaften eines Items abhängt. Anders als in der Klassischen Testtheorie (KTT) liegen Personenfähigkeit und Itemschwierigkeit auf <em>derselben Skala</em> — das ermöglicht direkte Aussagen darüber, welche Items für welche Personen informativ sind.</p>
<div class="help-sh">IRT und Faktorenanalyse — Verwandtschaft und Unterschied</div>
<p class="help-p">IRT und FA sind näher verwandt als es auf den ersten Blick erscheint: Beide modellieren eine oder mehrere latente Variablen, die das Antwortverhalten erklären. Mathematisch ist das 2PL-Modell äquivalent zu einem einfaktoriellen Modell für dichotome Daten — der Trennschärfeparameter a entspricht einer Faktorladung, θ entspricht dem personenspezifischen Fähigkeitsparameter (dem Personenwert auf der latenten Skala). Für ordinale Items (Likert-Skalen) sind das Graded Response Model und die ordinale FA mit polychorischen Korrelationen eng verwandt.</p>
<p class="help-p">Der entscheidende Unterschied liegt im <strong>Erkenntnisinteresse</strong>: Die Faktorenanalyse fragt: Wie viele latente Dimensionen gibt es, und welche Items laden auf welchen Faktor? Das Ziel ist die Struktur des Konstrukts. Die IRT fragt: Wie gut funktioniert jedes einzelne Item? Wie präzise misst der Test an welcher Stelle der θ-Skala? Das Ziel ist die <strong>Güte und Brauchbarkeit der Items</strong> sowie die Messgüte des Tests für bestimmte Personen.</p>
<div class="help-sh">ICC — Item Characteristic Curve</div>
<p class="help-p">Für jedes Item gibt es eine S-förmige Kurve (ICC, auch IRF — Item Response Function), die zeigt: Wie hoch ist P(richtig | θ)? Das allgemeine Modell mit vier Parametern (4PL):</p>
<code class="help-formula">4PL: P(θ) = c + (d − c) · 1 / (1 + exp(−a · (θ − b)))</code>
<p class="help-p">a = Trennschärfe (Steilheit) · b = Schwierigkeit (Wendepunkt) · c = untere Asymptote (Raten) · d = obere Asymptote (Flüchtigkeitsfehler)</p>
<p class="help-p">Die einfacheren Modelle entstehen durch sukzessives Fixieren von Parametern:</p>
<code class="help-formula">3PL: P(θ) = c + (1 − c) / (1 + exp(−a · (θ − b))) [d = 1]</code>
<code class="help-formula">2PL: P(θ) = 1 / (1 + exp(−a · (θ − b))) [c = 0, d = 1]</code>
<code class="help-formula">1PL: P(θ) = 1 / (1 + exp(−a · (θ − b))) a gleich für alle Items</code>
<code class="help-formula">Rasch: P(θ) = 1 / (1 + exp(−1 · (θ − b))) a = 1 per Axiom</code>
<p class="help-p">Vom 4PL zum Rasch-Modell sinkt die Flexibilität, aber die Interpretierbarkeit und Messtheoretische Strenge steigen. 2PL und 3PL sind die häufigsten Modelle in der angewandten Diagnostik.</p>
<div class="help-sh">Die vier Parameter</div>
<p class="help-p"><strong>b — Schwierigkeit (difficulty):</strong> θ-Wert am Wendepunkt der ICC — dem Punkt, an dem die S-Kurve ihre maximale Steigung hat (der Übergang von zunehmender zu abnehmender Steigung). Beim 2PL gilt P(θ=b) = 0.5. Beim 3PL/4PL gilt P(θ=b) = (c+d)/2. Hohe b-Werte → schwieriges Item. b liegt auf derselben Skala wie θ.</p>
<p class="help-p"><strong>a — Trennschärfe (discrimination):</strong> Steilheit der ICC am Wendepunkt. Hohe a → steile Kurve → Item trennt gut zwischen Fähigkeitsgruppen. Typisch: a ∈ [0.5, 2.5]. Werte unter 0.3 deuten auf ein schwaches Item hin.</p>
<p class="help-p"><strong>c — Ratewahrscheinlichkeit (pseudo-guessing):</strong> Untere Asymptote. Auch bei sehr niedrigem θ ist P(richtig) ≥ c. Bei Multiple-Choice mit K Optionen ist c ≈ 1/K plausibel. Ignoriert man c (2PL), wird θ bei schwachen Personen überschätzt.</p>
<p class="help-p"><strong>d — obere Asymptote (carelessness):</strong> Maximale Antwortwahrscheinlichkeit. d < 1 modelliert Flüchtigkeitsfehler auch bei sehr fähigen Personen. In der Praxis schwer zu schätzen — braucht viele hochfähige Personen im Datensatz.</p>
<div class="help-sh">Rasch-Modell vs. 1PL — der entscheidende Unterschied</div>
<p class="help-p">Dieser Unterschied wird in Lehrbüchern häufig verwischt. Beide Modelle haben a identisch über alle Items — aber die Philosophie ist grundverschieden:</p>
<p class="help-p"><strong>Rasch-Modell:</strong> Georg Rasch definierte sein Modell nicht als statistisches Datenmodell, sondern als <em>Messideal</em>. a = 1 ist <em>per Axiom</em> gesetzt — nicht weil die Daten es verlangen, sondern weil es die Voraussetzung für <em>spezifische Objektivität</em> ist: Die Itemschwierigkeit b soll unabhängig von der getesteten Stichprobe gelten, und die Personenfähigkeit θ unabhängig vom eingesetzten Test. Wenn ein Item nicht passt, wird es entfernt oder überarbeitet — nicht das Modell.</p>
<p class="help-p"><strong>1PL-Modell:</strong> a wird als gemeinsamer Parameter aus den Daten <em>geschätzt</em>. Das Modell wird den Daten angepasst. Wenn a ≠ 1 herauskommt, ist das kein Problem. Es gibt keinen axiomatischen Anspruch auf Messunabhängigkeit. <strong>Kurz: Rasch passt Daten dem Modell an — 1PL passt das Modell den Daten an.</strong></p>
<p class="help-p"><strong>Vorteile Rasch-konformer Items:</strong> Wenn Items das Rasch-Modell erfüllen, ergeben sich starke Messeigenschaften: (1) <em>Personenfreie Itemkalibrierung</em> — die Schwierigkeit b wird unabhängig davon geschätzt, welche Personen den Test absolviert haben. (2) <em>Itemfreie Personenmessung</em> — θ wird unabhängig davon geschätzt, welche Itemauswahl verwendet wird. (3) <em>Item Banking</em> — Items verschiedener Tests können auf einer gemeinsamen Skala verankert und ausgetauscht werden (Grundlage für adaptives Testen). (4) <em>Fit-Statistiken</em> — Items, die nicht passen, werden identifiziert und können gezielt verbessert werden. Diese Eigenschaften machen das Rasch-Modell zum Goldstandard in der psychometrischen Qualitätssicherung.</p>
<div class="help-sh">Testinformationsfunktion (TIF)</div>
<p class="help-p">I(θ) zeigt, wie präzise der Test bei jedem Fähigkeitsniveau misst. Sie ist die Summe der Iteminformationen:</p>
<code class="help-formula">I(θ) = Σᵢ Iᵢ(θ) mit Iᵢ(θ) = [P'ᵢ(θ)]² / [Pᵢ(θ) · (1 − Pᵢ(θ))]</code>
<p class="help-p">Der Standardfehler der Schätzung ist SE(θ) = 1/√I(θ). Ein Test misst am präzisesten dort, wo viele Items mit b ≈ θ vorliegen und die Trennschärfen a hoch sind. Extremgruppen werden oft schlecht gemessen.</p>
<p class="help-p"><strong>Interpretation:</strong> Die TIF zeigt relativ, <em>wo</em> ein Test präzise misst — nicht ob er einen absoluten Schwellenwert erreicht. Entscheidend ist die Form der Kurve: Ein schmales, hohes Maximum bedeutet präzise Messung in einem engen θ-Bereich (typisch für Selektionstests); eine breite, flache Kurve bedeutet gleichmäßige, aber weniger präzise Messung über viele Fähigkeitsniveaus (typisch für Screening). Der Standardfehler SE(θ) = 1/√I(θ) übersetzt die Information direkt in Messunsicherheit auf der θ-Skala — bei SE = 0.5 liegt die Schätzung typischerweise innerhalb von ±1 um den wahren Wert. Mehr Items verschieben die gesamte Kurve nach oben; schwerere oder leichtere Items verschieben das Informationsmaximum entlang der θ-Achse.</p>
<div class="help-sh">Wright Map — Personen und Items auf einer Skala</div>
<p class="help-p">Ein Alleinstellungsmerkmal der IRT: Personenfähigkeit θ und Itemschwierigkeit b liegen auf derselben Skala. Die Wright Map (Item-Person-Map) zeigt beides zusammen. Items mit b ≈ θ sind am informativsten für eine Person. Items, die zu leicht (b ≪ θ) oder zu schwer (b ≫ θ) sind, tragen kaum zur Messung bei. In diesem Tool steht θ senkrecht: links das Personen-Histogramm (N(0,1)-Referenzpopulation), rechts die Items auf ihrer Schwierigkeit b. Items mit ähnlicher Schwierigkeit werden horizontal nebeneinander aufgefächert, und ein farbiger Tick auf der θ-Achse markiert die genaue Schwierigkeit jedes Items. Die Punktgröße kodiert die Trennschärfe a (steilere Items = größer = informativer), und Items innerhalb des türkisen Bands um die θ-Linie der Person (Max) sind hervorgehoben — genau dort misst der Test präzise.</p>
<div class="help-sh">Antwortmuster und θ̂ (MLE)</div>
<p class="help-p">Aus einem beobachteten Antwortvektor (z.B. 1,1,0,0,0) lässt sich θ̂ via Maximum-Likelihood schätzen: Finde das θ, das die Wahrscheinlichkeit des beobachteten Musters maximiert. Antwortet jemand alles richtig oder alles falsch, ist die MLE nicht definiert (±∞) — in der Praxis werden dann EAP- oder MAP-Schätzer verwendet.</p>
</div>
</div>
<!-- APP -->
<div id="app">
<!-- SIDEBAR -->
<div id="sidebar">
<div class="sec-h" style="margin-top:0">Modell wählen</div>
<div class="model-grid">
<button class="mbtn" id="mbtn-rasch" onclick="selectModel('rasch')">Rasch</button>
<button class="mbtn" id="mbtn-pl1" onclick="selectModel('pl1')">1PL</button>
<button class="mbtn" id="mbtn-pl2" onclick="selectModel('pl2')">2PL</button>
<button class="mbtn" id="mbtn-pl3" onclick="selectModel('pl3')">3PL</button>
<button class="mbtn" id="mbtn-pl4" onclick="selectModel('pl4')">4PL</button>
</div>
<div class="sec-h">Item auswählen</div>
<div class="item-row" id="item-row"></div>
<div class="sec-h">Parameter</div>
<div id="par-sliders"></div>
<button class="reset-btn" onclick="resetItems()">↺ Standardwerte</button>
<div class="sec-h">Person-Fähigkeit θ</div>
<div class="slider-row">
<div class="slider-lbl">
<span class="slider-name">θ</span>
<span class="slider-val" id="v-theta">0.0</span>
</div>
<input type="range" id="sl-theta" min="-4" max="4" step="0.1" value="0"
oninput="ST.thetaPerson=+this.value;document.getElementById('v-theta').textContent=(+this.value).toFixed(1);redraw()">
</div>
<div class="scard" style="margin-bottom:.7rem">
<div class="scard-title">P(richtig | θ)</div>
<div class="prob-grid" id="prob-grid"></div>
</div>
<div class="sec-h">Fähigkeit aus Antworten schätzen</div>
<div class="scard">
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.72rem;color:var(--ink2);margin-bottom:.5rem;line-height:1.7">
Wähle, welche Items eine Person richtig (✓) oder falsch (☐) beantwortet hat. Das Tool schätzt daraus die wahrscheinlichste Fähigkeit θ̂ via Maximum-Likelihood.
</div>
<div class="resp-row" id="resp-row"></div>
<div class="theta-est" id="theta-est">θ̂ = —</div>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.69rem;color:var(--ink3);margin-top:.2rem" id="theta-est-note"></div>
</div>
</div><!-- /sidebar -->
<!-- MAIN -->
<div id="main">
<div class="story-box"><div class="story-lbl">📋 Beispiel — Leseverständnistest</div>
<strong>Max (Kl. 8)</strong> schreibt einen standardisierten <strong>Leseverständnistest</strong> mit 5 Items — von einfachem Faktenwissen (Item 1) bis zur komplexen Synthese (Item 5). Wie gut misst der Test seine wahre Lesekompetenz θ?</div>
<div class="advantage-box">
<div class="advantage-lbl">✓ Warum IRT — zusätzlich zur Klassischen Testtheorie?</div>
KTT/Faktorenanalyse und IRT sind keine Konkurrenten, sondern ergänzen sich: Beide gehen davon aus, dass eine <strong>latente Fähigkeit</strong> das Antwortverhalten erzeugt (das 2PL-Modell ist für dichotome Daten sogar formal äquivalent zu einem <a href="Faktoranalyse.html" target="_blank">Einfaktormodell</a> auf tetrachorischen Korrelationen — a entspricht einer Faktorladung). Der Unterschied liegt im Fokus: Bei <a href="KTT_Grundlagen.html" target="_blank">KTT</a>/Faktorenanalyse ist die latente Variable das <em>Ziel</em> der Analyse; die Reliabilität (α/ω) ist dabei eine <strong>einzelne Zahl für den ganzen Test</strong> — sie unterstellt implizit gleich große Messgenauigkeit über die komplette Skala. IRT macht das <strong>einzelne Item</strong> zum Gegenstand und zeigt explizit, dass diese Annahme oft nicht stimmt: ein Test kann in der Mitte sehr präzise und an den Rändern kaum informativ sein (siehe Testinformationsfunktion unten).
</div>
<div class="sec-h" style="margin-top:0">Vorgehen — vom Item zur Fähigkeitsschätzung</div>
<div>
<div class="proc-step"><span class="circ">①</span><strong>Item-Charakteristik-Kurve (ICC).</strong> Die S-förmige Kurve zeigt P(richtig | θ) — die Lösungswahrscheinlichkeit als Funktion der Fähigkeit. <a class="proc-jump" href="#cv-icc">→ ICC ansehen</a></div>
<div class="proc-step"><span class="circ">②</span><strong>Modell wählen — wie viele Parameter braucht das Item?</strong> Rasch/1PL/2PL/3PL/4PL unterscheiden sich darin, ob Trennschärfe, Raten und Flüchtigkeitsfehler modelliert werden. Rasch vs. 1PL ist dabei kein rein statistischer, sondern ein messtheoretisch-philosophischer Unterschied (Details in der Hilfe).</div>
<div class="proc-step"><span class="circ">③</span><strong>Testinformation I(θ) und SE(θ) — wie präzise misst der Test wo?</strong> Das ist der Kernvorteil aus dem Kasten oben, jetzt sichtbar gemacht: die Präzision ist keine Konstante, sondern hängt von θ ab. <a class="proc-jump" href="#cv-tif">→ Testinformationsfunktion ansehen</a></div>
<div class="proc-step"><span class="circ">④</span><strong>Wright Map — Personen und Items auf einer Skala.</strong> Passen die Itemschwierigkeiten zur Fähigkeitsverteilung der Personen (Targeting)? <a class="proc-jump" href="#cv-wright">→ Wright Map ansehen</a></div>
<div class="proc-step"><span class="circ">⑤</span><strong>Von Antworten zu θ̂.</strong> Aus einem konkreten Antwortmuster lässt sich die Fähigkeit einer Person per Maximum-Likelihood schätzen — probiere es unten in der Seitenleiste aus.</div>
</div>
<div>
<a class="xlink" href="IRT_Ordinal.html" target="_blank">Items mit mehr als zwei Antwortkategorien? → Ordinale IRT</a>
<a class="xlink" href="DIF.html" target="_blank">Funktioniert ein Item für alle Gruppen gleich? → DIF</a>
</div>
<div class="sec-h">ICC — Item Characteristic Curves</div>
<canvas id="cv-icc" height="360"></canvas>
<div class="hint" id="icc-note"></div>
<div class="sec-h" style="display:flex;align-items:center;justify-content:space-between">
Testinformationsfunktion I(θ) und SE(θ)
<button id="btn-item-info" class="mbtn" style="font-size:.68rem;padding:.25rem .6rem;width:auto" onclick="showItemInfo=!showItemInfo;document.getElementById('btn-item-info').classList.toggle('act',showItemInfo);drawTIF()">Item-Traces</button>
</div>
<canvas id="cv-tif" height="360"></canvas>
<div class="hint" id="tif-note"></div>
<div class="sec-h">Wright Map — Items und Personen auf einer Skala</div>
<div style="display:flex;gap:1.2rem;align-items:flex-start;flex-wrap:wrap">
<div style="flex:0 0 588px;max-width:100%">
<canvas id="cv-wright" height="504"></canvas>
</div>
<div style="flex:1;min-width:230px;font-size:.83rem;line-height:1.55;color:var(--ink2)">
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.7rem;letter-spacing:.08em;text-transform:uppercase;color:var(--ink3);margin-bottom:.55rem">So liest du die Wright Map</div>
<p style="margin:0 0 .6rem"><strong>Eine gemeinsame Skala θ</strong> (senkrecht): links die Personen, rechts die Items — beide auf derselben Fähigkeits- bzw. Schwierigkeitsachse. Das ist das Alleinstellungsmerkmal der IRT.</p>
<ul style="list-style:none;margin:0;padding:0;display:flex;flex-direction:column;gap:.45rem">
<li><span style="display:inline-block;width:11px;height:11px;background:color-mix(in srgb,var(--a2) 45%,transparent);vertical-align:middle;margin-right:.45rem"></span><strong>Personen</strong> — Histogramm der Referenzpopulation N(0,1).</li>
<li><span style="display:inline-block;width:15px;height:0;border-top:2px dashed var(--a6);vertical-align:middle;margin-right:.45rem"></span><strong>Max</strong> — die aktuelle Person; das türkise Band ist ihre <em>informative Zone</em> (|b−θ| ≤ 0.5).</li>
<li><span style="display:inline-block;width:13px;height:13px;border-radius:50%;background:var(--a3);vertical-align:middle;margin-right:.45rem"></span><strong>Items</strong> — auf ihrer Schwierigkeit b; <strong>Punktgröße = Trennschärfe a</strong> (größer = trennt schärfer). Gleich schwere Items werden horizontal aufgefächert.</li>
<li><span style="display:inline-block;width:13px;height:3px;background:var(--a3);vertical-align:middle;margin-right:.45rem"></span><strong>Tick</strong> (in Item-Farbe) auf der θ-Achse — markiert die Schwierigkeit jedes Items auf der Skala.</li>
<li><span style="vertical-align:middle;margin-right:.3rem">◉</span><strong>Hervorgehoben</strong> (Halo + Ring) = Item nahe θ → dort misst der Test präzise; ausgeblasste Items sind für Max zu leicht oder zu schwer.</li>
</ul>
<p style="margin:.7rem 0 .35rem"><strong>Überlappen Items und Personen?</strong></p>
<ul style="list-style:none;margin:0;padding:0;display:flex;flex-direction:column;gap:.4rem">
<li><strong style="color:var(--a3)">Gute Passung (Targeting):</strong> Liegen Items auf Höhe von Max (b ≈ θ), misst der Test dort <em>präzise</em> — kleiner Standardfehler. Idealerweise decken die Item-Schwierigkeiten genau den θ-Bereich ab, in dem die Personen liegen.</li>
<li><strong>Lücke:</strong> In θ-Bereichen <em>ohne</em> Items misst der Test ungenau, selbst wenn dort Personen sitzen — die Testinformation ist niedrig (siehe Reiter TIF, dort steigt der SE).</li>
<li><strong style="color:var(--a1)">Keine Überlappung:</strong> Sind <em>alle</em> Items zu leicht (b ≪ θ), löst Max praktisch alles → <em>Deckeneffekt</em>, θ kaum schätzbar (SE wird sehr groß). Spiegelbildlich bei durchweg zu schweren Items → <em>Bodeneffekt</em>.</li>
</ul>
<p style="margin:.55rem 0 0"><strong>Ausprobieren:</strong> Ziehe Max' θ-Slider aus der Item-Wolke heraus — sobald kein Item mehr hervorgehoben ist, gibt es keine Überlappung, und der Test ist für diese Fähigkeit schlecht abgestimmt. Item-Nummern entsprechen der Seitenleiste.</p>
</div>
</div>
<div class="sec-h" style="margin-top:1.6rem">Modell-Formel & Interpretation</div>
<div class="erklaer" id="erklaer-formula"></div>
<div class="sec-h">Item-Parameter-Tabelle</div>
<table class="par-table">
<thead><tr>
<th>Item</th><th>a</th><th>b</th><th>c</th><th>d</th><th>P(θ)</th><th>I(θ)</th>
</tr></thead>
<tbody id="par-tbody"></tbody>
</table>
<div class="learn-section">
<div class="sec-h">Lernkarten</div>
<div class="lcard-grid" id="lcard-grid"></div>
</div>
</div><!-- /main -->
</div><!-- /app -->
<script>
function fixDiacritics(s){
return s
.replace(/([^\s<>])̂/g,'<span class="gl-hat">$1</span>')
.replace(/([^\s<>])̄/g,'<span class="gl-bar">$1</span>');
}
// ── Konstanten ─────────────────────────────────────────────────────────────
const ICOLS=['--a2','--a3','--a5','--a4','--a1'];
const DEF=[
{label:'Item 1',sub:'Faktenwissen', a:1.0, b:-1.5, c:0.10, d:1.00},
{label:'Item 2',sub:'Schlussfolgerung',a:1.4, b:-0.3, c:0.15, d:1.00},
{label:'Item 3',sub:'Vokabular', a:1.8, b: 0.6, c:0.12, d:0.95},
{label:'Item 4',sub:'Inferenz', a:0.8, b: 1.3, c:0.20, d:0.90},
{label:'Item 5',sub:'Synthese', a:1.5, b: 2.1, c:0.25, d:0.85},
];
let showItemInfo=false;
const ST={
model:'pl2', selItem:0,
items:DEF.map(d=>({...d})),
thetaPerson:0.0,
responses:[1,1,0,0,0],
a1pl:1.4,
};
// ── IRT Mathematik ─────────────────────────────────────────────────────────
function icc(th,a,b,c,d){return c+(d-c)/(1+Math.exp(-a*(th-b)));}
function iccP(th,a,b,c,d){const e=Math.exp(-a*(th-b));return a*(d-c)*e/((1+e)**2);}
function itemInfo(th,a,b,c,d){
const p=icc(th,a,b,c,d),pp=iccP(th,a,b,c,d),q=1-p;
return p<1e-9||q<1e-9?0:pp**2/(p*q);
}
function testInfo(th){return ST.items.reduce((s,it)=>s+itemInfo(th,...eff(it)),0);}
function eff(it){
switch(ST.model){
case'rasch': return[1, it.b, 0, 1 ];
case'pl1': return[ST.a1pl,it.b, 0, 1 ];
case'pl2': return[it.a, it.b, 0, 1 ];
case'pl3': return[it.a, it.b, it.c, 1 ];
default: return[it.a, it.b, it.c, it.d];
}
}
function estimateTheta(){
const r=ST.responses;
if(r.every(v=>v===0))return{th:-Infinity,note:'Alle falsch → MLE nicht definiert (EAP/MAP nötig)'};
if(r.every(v=>v===1))return{th:+Infinity,note:'Alle richtig → MLE nicht definiert (EAP/MAP nötig)'};
let best=0,bestLL=-Infinity;
for(let i=-450;i<=450;i++){
const th=i*0.01;let ll=0;
ST.items.forEach((it,j)=>{
const p=Math.max(1e-9,Math.min(1-1e-9,icc(th,...eff(it))));
ll+=r[j]?Math.log(p):Math.log(1-p);
});
if(ll>bestLL){bestLL=ll;best=th;}
}
return{th:best,note:''};
}
// ── Canvas Helfer ──────────────────────────────────────────────────────────
function cv(v){return getComputedStyle(document.documentElement).getPropertyValue(v).trim();}
const CV_BASE_H={};
function setupCv(id){
const el=document.getElementById(id);
if(!(id in CV_BASE_H)) CV_BASE_H[id]=parseInt(el.getAttribute('height'))||360;
const origH=CV_BASE_H[id];
const W=el.offsetWidth||el.parentElement.offsetWidth||600;
const dpr=window.devicePixelRatio||1;
el.width=Math.round(W*dpr); el.height=Math.round(origH*dpr);
const ctx=el.getContext('2d');
ctx.setTransform(dpr,0,0,dpr,0,0);
return{ctx,W,H:origH};
}
// ── ICC ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
function drawICC(){
const{ctx,W,H}=setupCv('cv-icc');
const pad={l:48,r:18,t:22,b:40};
const cW=W-pad.l-pad.r,cH=H-pad.t-pad.b;
const paper=cv('--paper'),grid=cv('--grid'),ink2=cv('--ink2'),ink3=cv('--ink3');
ctx.fillStyle=paper;ctx.fillRect(0,0,W,H);
const thMin=-4,thMax=4;
const tx=t=>(t-thMin)/(thMax-thMin)*cW+pad.l;
const py=p=>(1-p)*cH+pad.t;
ctx.strokeStyle=grid;ctx.lineWidth=.7;
[0,.25,.5,.75,1].forEach(p=>{ctx.beginPath();ctx.moveTo(pad.l,py(p));ctx.lineTo(pad.l+cW,py(p));ctx.stroke();});
[-3,-2,-1,0,1,2,3].forEach(t=>{ctx.beginPath();ctx.moveTo(tx(t),pad.t);ctx.lineTo(tx(t),pad.t+cH);ctx.stroke();});
ctx.fillStyle=ink2;ctx.font=`11px 'DM Mono',monospace`;ctx.textAlign='center';
[-4,-2,0,2,4].forEach(t=>ctx.fillText(t,tx(t),pad.t+cH+16));
ctx.textAlign='right';
[0,.25,.5,.75,1].forEach(p=>ctx.fillText(p.toFixed(2),pad.l-5,py(p)+4));
ctx.save();ctx.translate(14,pad.t+cH/2);ctx.rotate(-Math.PI/2);
ctx.textAlign='center';ctx.fillText('P(richtig | θ)',0,0);ctx.restore();
ctx.textAlign='center';ctx.fillText('Fähigkeit θ',pad.l+cW/2,H-4);
const NX=300;
ST.items.forEach((it,i)=>{
const[a,b,c,d]=eff(it);
const col=cv(ICOLS[i]);
ctx.strokeStyle=col;ctx.lineWidth=i===ST.selItem?2.8:1.6;
ctx.setLineDash(i===ST.selItem?[]:[5,4]);
ctx.beginPath();
for(let k=0;k<NX;k++){
const t=thMin+k*(thMax-thMin)/(NX-1);
k?ctx.lineTo(tx(t),py(icc(t,a,b,c,d))):ctx.moveTo(tx(t),py(icc(t,a,b,c,d)));
}
ctx.stroke();ctx.setLineDash([]);
});
const tp=ST.thetaPerson;
ctx.strokeStyle=cv('--a6');ctx.lineWidth=1.5;ctx.setLineDash([6,4]);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(tx(tp),pad.t);ctx.lineTo(tx(tp),pad.t+cH);ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);
ST.items.forEach((it,i)=>{
const p=icc(tp,...eff(it));
ctx.fillStyle=cv(ICOLS[i]);
ctx.beginPath();ctx.arc(tx(tp),py(p),3.5,0,Math.PI*2);ctx.fill();
});
ST.items.forEach((it,i)=>{
const col=cv(ICOLS[i]);
ctx.strokeStyle=col;ctx.lineWidth=2;ctx.setLineDash([]);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(pad.l+8,pad.t+9+i*17);ctx.lineTo(pad.l+26,pad.t+9+i*17);ctx.stroke();
ctx.fillStyle=ink2;ctx.textAlign='left';ctx.font=`11px 'DM Mono',monospace`;
ctx.fillText(`${it.label} — ${it.sub} (b=${eff(it)[1].toFixed(1)})`,pad.l+30,pad.t+13+i*17);
});
ctx.strokeStyle=ink3;ctx.lineWidth=1;ctx.strokeRect(pad.l,pad.t,cW,cH);
}
// ── TIF ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
function drawTIF(){
const{ctx,W,H}=setupCv('cv-tif');
const pad={l:48,r:18,t:20,b:40};
const cW=W-pad.l-pad.r,cH=H-pad.t-pad.b;
const paper=cv('--paper'),grid=cv('--grid'),ink2=cv('--ink2'),ink3=cv('--ink3');
const a1c=cv('--a1'),a2c=cv('--a2'),a4c=cv('--a6');
ctx.fillStyle=paper;ctx.fillRect(0,0,W,H);
const thMin=-4,thMax=4,NX=300;
const ths=Array.from({length:NX},(_,k)=>thMin+k*(thMax-thMin)/(NX-1));
const infos=ths.map(t=>testInfo(t));
const maxI=Math.max(...infos,.1);
const tx=t=>(t-thMin)/(thMax-thMin)*cW+pad.l;
const iy=v=>pad.t+cH*(1-v/maxI);
ctx.strokeStyle=grid;ctx.lineWidth=.7;
[0,.25,.5,.75,1].forEach(f=>{const v=f*maxI;ctx.beginPath();ctx.moveTo(pad.l,iy(v));ctx.lineTo(pad.l+cW,iy(v));ctx.stroke();});
[-3,-2,-1,0,1,2,3].forEach(t=>{ctx.beginPath();ctx.moveTo(tx(t),pad.t);ctx.lineTo(tx(t),pad.t+cH);ctx.stroke();});
if(showItemInfo){
ST.items.forEach((it,i)=>{
const col=cv(ICOLS[i]);
ctx.strokeStyle=col;ctx.lineWidth=1.2;ctx.setLineDash([4,3]);ctx.globalAlpha=.75;
ctx.beginPath();
ths.forEach((t,k)=>{const v=itemInfo(t,...eff(it));k?ctx.lineTo(tx(t),iy(v)):ctx.moveTo(tx(t),iy(v));});
ctx.stroke();
});
ctx.globalAlpha=1;ctx.setLineDash([]);
}
ctx.fillStyle=`color-mix(in srgb,${a2c} 14%,transparent)`;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(tx(thMin),iy(0));
ths.forEach((t,k)=>ctx.lineTo(tx(t),iy(infos[k])));
ctx.lineTo(tx(thMax),iy(0));ctx.closePath();ctx.fill();
ctx.strokeStyle=a2c;ctx.lineWidth=2.2;ctx.setLineDash([]);
ctx.beginPath();ths.forEach((t,k)=>k?ctx.lineTo(tx(t),iy(infos[k])):ctx.moveTo(tx(t),iy(infos[k])));ctx.stroke();
const ses=ths.map(t=>{const I=testInfo(t);return I>0?1/Math.sqrt(I):5;});
const seMax=Math.min(4,Math.max(...ses,0.1));
ctx.strokeStyle=a1c;ctx.lineWidth=1.5;ctx.setLineDash([5,3]);
ctx.beginPath();
ths.forEach((t,k)=>{
const y=pad.t+cH*(1-Math.min(ses[k],seMax)/seMax);
k?ctx.lineTo(tx(t),y):ctx.moveTo(tx(t),y);
});
ctx.stroke();ctx.setLineDash([]);
ctx.strokeStyle=a4c;ctx.lineWidth=1.5;ctx.setLineDash([6,4]);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(tx(ST.thetaPerson),pad.t);ctx.lineTo(tx(ST.thetaPerson),pad.t+cH);ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);
ctx.fillStyle=ink2;ctx.font=`11px 'DM Mono',monospace`;ctx.textAlign='center';
[-4,-2,0,2,4].forEach(t=>ctx.fillText(t,tx(t),pad.t+cH+16));
ctx.textAlign='right';
[0,.25,.5,.75,1].forEach(f=>ctx.fillText((f*maxI).toFixed(1),pad.l-5,iy(f*maxI)+4));
ctx.save();ctx.translate(14,pad.t+cH/2);ctx.rotate(-Math.PI/2);
ctx.textAlign='center';ctx.fillStyle=a2c;ctx.fillText('I(θ)',0,0);ctx.restore();
ctx.fillStyle=ink2;ctx.textAlign='center';ctx.font=`11px 'DM Mono',monospace`;
ctx.fillText('Fähigkeit θ',pad.l+cW/2,H-4);
ctx.strokeStyle=a2c;ctx.lineWidth=2;ctx.setLineDash([]);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(pad.l+8,pad.t+10);ctx.lineTo(pad.l+26,pad.t+10);ctx.stroke();
ctx.fillStyle=ink2;ctx.textAlign='left';ctx.fillText('TIF I(θ)',pad.l+30,pad.t+14);
ctx.strokeStyle=a1c;ctx.lineWidth=1.5;ctx.setLineDash([5,3]);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(pad.l+8,pad.t+26);ctx.lineTo(pad.l+26,pad.t+26);ctx.stroke();
ctx.setLineDash([]);ctx.fillText('SE(θ) = 1/√I(θ)',pad.l+30,pad.t+30);
ctx.strokeStyle=ink3;ctx.lineWidth=1;ctx.strokeRect(pad.l,pad.t,cW,cH);
const tp=ST.thetaPerson;const I=testInfo(tp);const se=I>0?1/Math.sqrt(I):Infinity;
document.getElementById('tif-note').textContent=
`Bei θ = ${tp.toFixed(1)}: I(θ) = ${I.toFixed(2)}, SE(θ) = ${isFinite(se)?se.toFixed(2):'∞'}${se>1?' — wenig präzise hier':se<0.5?' — sehr präzise hier':''}`;
}
// ── Wright Map ───────────────────────────────────────────────────────────────
function drawWright(){
const{ctx,W,H}=setupCv('cv-wright');
const pad={l:42,r:14,t:20,b:14};
const cW=W-pad.l-pad.r,cH=H-pad.t-pad.b;
const paper=cv('--paper'),grid=cv('--grid'),ink2=cv('--ink2'),ink3=cv('--ink3');
const a2c=cv('--a2'),a6c=cv('--a6');
ctx.fillStyle=paper;ctx.fillRect(0,0,W,H);
const thMin=-4,thMax=4;
const ty=t=>pad.t+(thMax-t)/(thMax-thMin)*cH; // θ senkrecht: hoch = oben
const midX=pad.l+cW*0.40; // Trennung Personen | Items
// Gridlines + θ-Achsenbeschriftung
ctx.font=`13px 'DM Mono',monospace`;ctx.textBaseline='middle';
for(let t=-4;t<=4;t++){
const y=ty(t);
ctx.strokeStyle=grid;ctx.lineWidth=(t===0?1.1:.6);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(pad.l,y);ctx.lineTo(pad.l+cW,y);ctx.stroke();
if(t%2===0){ctx.fillStyle=ink3;ctx.textAlign='right';ctx.fillText(t,pad.l-4,y);}
}
ctx.fillStyle=ink2;ctx.font=`bold 15px 'DM Mono',monospace`;
ctx.textAlign='left';ctx.textBaseline='top';ctx.fillText('θ',3,pad.t-4);
// Trennlinie + Spaltenköpfe
ctx.strokeStyle=ink3;ctx.lineWidth=1;ctx.globalAlpha=.45;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(midX,pad.t);ctx.lineTo(midX,pad.t+cH);ctx.stroke();ctx.globalAlpha=1;
ctx.fillStyle=ink3;ctx.font=`12px 'DM Mono',monospace`;ctx.textBaseline='alphabetic';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('Personen',pad.l+(midX-pad.l)/2,pad.t+10);
ctx.fillText('Items',midX+(pad.l+cW-midX)/2,pad.t+10);
// Personen-Histogramm N(0,1) — Balken wachsen nach links von der Trennlinie
const N01=x=>Math.exp(-x*x/2)/Math.sqrt(2*Math.PI);
const leftW=(midX-pad.l)*0.86,peak=N01(0),NB=64;
for(let k=0;k<NB;k++){
const tA=thMin+k*(thMax-thMin)/NB,tB=thMin+(k+1)*(thMax-thMin)/NB;
const len=N01((tA+tB)/2)/peak*leftW,yTop=ty(tB),yBot=ty(tA);
ctx.fillStyle=`color-mix(in srgb,${a2c} 30%,transparent)`;
ctx.fillRect(midX-len,yTop,len,yBot-yTop+0.6);
}
// Informatives Band der Person (|b−θ| ≤ 0.5) — Hintergrund
const tp=ST.thetaPerson;
const bandTop=Math.max(pad.t,ty(tp+0.5)),bandBot=Math.min(pad.t+cH,ty(tp-0.5));
ctx.fillStyle=`color-mix(in srgb,${a6c} 13%,transparent)`;
ctx.fillRect(pad.l,bandTop,cW,bandBot-bandTop);
// Person Max — horizontale Linie über die ganze Breite + Marker links
const yP=ty(tp);
ctx.strokeStyle=a6c;ctx.lineWidth=1.8;ctx.setLineDash([5,3]);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(pad.l,yP);ctx.lineTo(pad.l+cW,yP);ctx.stroke();ctx.setLineDash([]);
const mx=Math.max(pad.l+6,midX-N01(tp)/peak*leftW-7);
ctx.fillStyle=a6c;ctx.beginPath();ctx.arc(mx,yP,4.5,0,Math.PI*2);ctx.fill();
ctx.font=`bold 10px 'DM Mono',monospace`;ctx.textAlign='left';ctx.textBaseline='bottom';
ctx.fillStyle=a6c;ctx.fillText(`Max θ=${tp.toFixed(1)}`,pad.l+4,yP-4);
// Items — auf b-Höhe, horizontal aufgefächert (Beeswarm) + farbiger Tick auf der θ-Achse
const items=ST.items.map((it,i)=>{const e=eff(it);return{i,b:e[1],a:e[0],col:cv(ICOLS[i])};});
const rOf=o=>6.5+Math.min(7,Math.max(0,(o.a-0.6))*4); // Punktgröße ~ Trennschärfe a
const baseX=midX+18,colW=24;
const placed=[];
[...items].sort((p,q)=>q.b-p.b).forEach(o=>{ // oben (hohes b) zuerst
o.yB=ty(o.b);o.r=rOf(o);o.slot=0;
while(placed.some(p=>p.slot===o.slot&&Math.abs(p.yB-o.yB)<(p.r+o.r+3)))o.slot++;
placed.push(o);
});
placed.forEach(o=>{
const near=Math.abs(o.b-tp)<=0.5,al=near?1:0.4,x=baseX+o.slot*colW;
// Niveau-Linie von der θ-Achse zum Item
ctx.strokeStyle=o.col;ctx.globalAlpha=al*0.4;ctx.lineWidth=1;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(pad.l,o.yB);ctx.lineTo(x-o.r-1,o.yB);ctx.stroke();
// farbiger Tick auf der θ-Achse
ctx.globalAlpha=al;ctx.lineWidth=2.6;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(pad.l,o.yB);ctx.lineTo(pad.l+8,o.yB);ctx.stroke();
// Glow-Halo bei nahe θ
if(near){ctx.globalAlpha=1;ctx.fillStyle=`color-mix(in srgb,${o.col} 26%,transparent)`;
ctx.beginPath();ctx.arc(x,o.yB,o.r+4.5,0,Math.PI*2);ctx.fill();}
// Item-Punkt (Größe ~ a)
ctx.globalAlpha=al;ctx.fillStyle=o.col;
ctx.beginPath();ctx.arc(x,o.yB,o.r,0,Math.PI*2);ctx.fill();
if(near){ctx.strokeStyle=paper;ctx.lineWidth=1.8;ctx.stroke();}
ctx.fillStyle=paper;ctx.font=`bold ${Math.max(11,Math.round(o.r*1.2))}px 'DM Mono',monospace`;
ctx.textAlign='center';ctx.textBaseline='middle';
ctx.fillText(o.i+1,x,o.yB+0.5);
ctx.globalAlpha=1;
});
ctx.strokeStyle=ink3;ctx.lineWidth=1;ctx.globalAlpha=.55;ctx.strokeRect(pad.l,pad.t,cW,cH);ctx.globalAlpha=1;
}
// ── Formel-Text ─────────────────────────────────────────────────────────────
function getFormelText(){
const a=ST.a1pl.toFixed(2);
switch(ST.model){
case'rasch':return`<strong>Rasch-Modell</strong> — a = 1 per Axiom, c = 0, d = 1<br>
<code>P(θ) = 1 / (1 + exp(−(θ − bᵢ)))</code>
Alle Items haben a = 1 — nicht weil die Daten es fordern, sondern als axiomatische Messvoraussetzung. Wendepunkt bei θ = b: P = 0.5. <strong>Spezifische Objektivität:</strong> b ist stichprobenunabhängig.`;
case'pl1':return`<strong>1PL-Modell</strong> — a aus Daten geschätzt (gemeinsam), c = 0, d = 1<br>
<code>P(θ) = 1 / (1 + exp(−a · (θ − bᵢ))) mit a = ${a} (alle Items)</code>
Alle Items teilen dieselbe Trennschärfe — aber a wird aus den Daten geschätzt (hier: ${a}). Parallelität der Kurven ist Modellannahme, kein Axiom. <strong>Kein Anspruch auf spezifische Objektivität.</strong>`;
case'pl2':return`<strong>2PL-Modell</strong> — a itemspezifisch, c = 0, d = 1<br>
<code>P(θ) = 1 / (1 + exp(−aᵢ · (θ − bᵢ)))</code>
Items dürfen unterschiedlich stark diskriminieren. Steilere Kurve = höhere Trennschärfe = mehr Information bei θ ≈ b. Standardmodell in der Persönlichkeitsdiagnostik.`;
case'pl3':return`<strong>3PL-Modell</strong> — a und c itemspezifisch, d = 1<br>
<code>P(θ) = cᵢ + (1 − cᵢ) / (1 + exp(−aᵢ · (θ − bᵢ)))</code>
Untere Asymptote c modelliert Ratewahrscheinlichkeit (typisch bei Multiple-Choice). Bei θ = b gilt P = (c+1)/2. c = 0.25 entspricht Raten bei 4 Optionen. Standard bei Schulleistungstests.`;
case'pl4':return`<strong>4PL-Modell</strong> — alle Parameter itemspezifisch<br>
<code>P(θ) = cᵢ + (dᵢ − cᵢ) / (1 + exp(−aᵢ · (θ − bᵢ)))</code>
Obere Asymptote d < 1 modelliert Flüchtigkeitsfehler sehr fähiger Personen. Bei θ = b gilt P = (c+d)/2. In der Praxis selten verwendet — d braucht viele hochfähige Beobachtungen.`;
}
return'';
}
// ── Slider bauen ─────────────────────────────────────────────────────────────
function buildSliders(){
const div=document.getElementById('par-sliders');
div.innerHTML='';
const it=ST.items[ST.selItem];
const mk=(id,name,min,max,step,val,cb,dis=false)=>{
const w=document.createElement('div');
w.className='slider-row';
if(dis)w.style.opacity='.42';
w.innerHTML=`<div class="slider-lbl"><span class="slider-name">${name}</span>
<span class="slider-val" id="sv-${id}">${typeof val==='string'?val:val.toFixed(2)}</span></div>
<input type="range" id="sl-${id}" min="${min}" max="${max}" step="${step}" value="${typeof val==='number'?val:0}" ${dis?'disabled':''}>`;
div.appendChild(w);
if(!dis){
w.querySelector('input').addEventListener('input',function(){
const v=+this.value;
document.getElementById(`sv-${id}`).textContent=v.toFixed(2);
cb(v);updateAll();
});
}
};
switch(ST.model){
case'rasch':
{const w=document.createElement('div');w.className='slider-row';w.style.opacity='.42';
w.innerHTML=`<div class="slider-lbl"><span class="slider-name">a</span><span class="slider-val">1.00 (fest)</span></div>`;div.appendChild(w);}
mk('b','b — Schwierigkeit',-4,4,.1,it.b,v=>it.b=v);break;
case'pl1':
mk('a1pl','a — gemeinsam (alle Items)',.3,3,.05,ST.a1pl,v=>ST.a1pl=v);
mk('b','b — Schwierigkeit',-4,4,.1,it.b,v=>it.b=v);break;
case'pl2':
mk('a','a — Trennschärfe',.3,3,.05,it.a,v=>it.a=v);
mk('b','b — Schwierigkeit',-4,4,.1,it.b,v=>it.b=v);break;
case'pl3':
mk('a','a — Trennschärfe',.3,3,.05,it.a,v=>it.a=v);
mk('b','b — Schwierigkeit',-4,4,.1,it.b,v=>it.b=v);
mk('c','c — Raten (unt. Asymptote)',0,.5,.01,it.c,v=>it.c=v);break;
default:
mk('a','a — Trennschärfe',.3,3,.05,it.a,v=>it.a=v);
mk('b','b — Schwierigkeit',-4,4,.1,it.b,v=>it.b=v);
mk('c','c — Raten',0,.5,.01,it.c,v=>it.c=v);
mk('d','d — ob. Asymptote',.5,1,.01,it.d,v=>it.d=v);break;
}
}
// ── Item-Buttons ──────────────────────────────────────────────────────────────
function buildItemBtns(){
const wrap=document.getElementById('item-row');
wrap.innerHTML='';
ST.items.forEach((it,i)=>{
const col=cv(ICOLS[i]);
const b=document.createElement('button');
b.className='ibtn'+(i===ST.selItem?' sel':'');
b.textContent=it.label;
b.style.borderColor=col;
b.style.color=i===ST.selItem?'var(--bg)':col;
if(i===ST.selItem)b.style.background=col;
b.onclick=()=>{ST.selItem=i;buildItemBtns();buildSliders();};
wrap.appendChild(b);
});
}
// ── Response-Checkboxen ───────────────────────────────────────────────────────
function buildRespRow(){
const wrap=document.getElementById('resp-row');
wrap.innerHTML='';
ST.items.forEach((it,i)=>{
const col=cv(ICOLS[i]);
const d=document.createElement('div');
d.className='resp-item';
d.innerHTML=`<span style="color:${col}">${i+1}</span>
<input type="checkbox" ${ST.responses[i]?'checked':''}>`;
d.querySelector('input').onchange=e=>{
ST.responses[i]=e.target.checked?1:0;
updateThetaEst();
};
wrap.appendChild(d);
});
}
// ── Prob-Grid ─────────────────────────────────────────────────────────────────
function updateProbGrid(){
const div=document.getElementById('prob-grid');
div.innerHTML='';
ST.items.forEach((it,i)=>{
const p=icc(ST.thetaPerson,...eff(it));
const col=cv(ICOLS[i]);
const row=document.createElement('div');
row.className='prow';
row.innerHTML=`<span style="color:${col}">${it.label}</span><span style="color:${col}">${(p*100).toFixed(0)}%</span>`;
div.appendChild(row);
});
}
// ── Param-Tabelle ─────────────────────────────────────────────────────────────
function updateParTable(){
const tb=document.getElementById('par-tbody');
tb.innerHTML='';
const m=ST.model;
ST.items.forEach((it,i)=>{
const[a,b,c,d]=eff(it);
const p=icc(ST.thetaPerson,a,b,c,d);
const info=itemInfo(ST.thetaPerson,a,b,c,d);
const col=cv(ICOLS[i]);
const aStr=m==='rasch'?'1 (fix)':m==='pl1'?ST.a1pl.toFixed(2):a.toFixed(2);
const cStr=(m==='rasch'||m==='pl1'||m==='pl2')?'—':c.toFixed(2);
const dStr=m==='pl4'?d.toFixed(2):'—';
const tr=document.createElement('tr');
tr.innerHTML=`<td style="color:${col}">${it.label} — ${it.sub}</td>
<td>${aStr}</td><td>${b.toFixed(2)}</td><td>${cStr}</td><td>${dStr}</td>
<td>${(p*100).toFixed(0)}%</td><td>${info.toFixed(2)}</td>`;
tb.appendChild(tr);
});
}
// ── θ̂ schätzen ────────────────────────────────────────────────────────────────
function updateThetaEst(){
const{th,note}=estimateTheta();
document.getElementById('theta-est').innerHTML=fixDiacritics(isFinite(th)?`θ̂ = ${th.toFixed(2)}`:'θ̂ = ±∞');
document.getElementById('theta-est-note').textContent=note;
const clamped=isFinite(th)?Math.max(-4,Math.min(4,th)):th>0?4:-4;
ST.thetaPerson=Math.round(clamped*10)/10;
document.getElementById('sl-theta').value=ST.thetaPerson;
document.getElementById('v-theta').textContent=ST.thetaPerson.toFixed(1);
redraw();
}
// ── Modell wechseln ────────────────────────────────────────────────────────────
function selectModel(m){
ST.model=m;
['rasch','pl1','pl2','pl3','pl4'].forEach(x=>{
const btn=document.getElementById('mbtn-'+x);
btn.classList.toggle('act',x===m);
if(x==='rasch')btn.classList.toggle('rasch-act',m==='rasch');
});
buildSliders();
updateAll();
}
// ── Reset ─────────────────────────────────────────────────────────────────────
function resetItems(){
ST.items=DEF.map(d=>({...d}));
ST.a1pl=1.4;
buildItemBtns();buildSliders();updateAll();
}
// ── updateAll ─────────────────────────────────────────────────────────────────
function updateAll(){
drawICC();drawTIF();drawWright();
updateProbGrid();updateParTable();updateThetaEst();
document.getElementById('erklaer-formula').innerHTML=getFormelText();
const mNames=['rasch','pl1','pl2','pl3','pl4'];
const mLabels=['Rasch','1PL','2PL','3PL','4PL'];
document.getElementById('icc-note').textContent=
`${mLabels[mNames.indexOf(ST.model)]}-Modell · ausgewähltes Item: ${ST.items[ST.selItem].label} (${ST.items[ST.selItem].sub}) · türkise Linie = θ = ${ST.thetaPerson.toFixed(1)}`;
}
function redraw(){
drawICC();drawTIF();drawWright();
updateProbGrid();updateParTable();
document.getElementById('erklaer-formula').innerHTML=getFormelText();
document.getElementById('icc-note').textContent=
document.getElementById('icc-note').textContent.replace(/θ = [-\d.]+$/,`θ = ${ST.thetaPerson.toFixed(1)}`);
}
// ── Lernkarten ─────────────────────────────────────────────────────────────────
const LK=[
{h:'Was misst θ (Theta)?',
b:'θ ist die <strong>latente Fähigkeit</strong> — z.B. Lesekompetenz — nicht direkt beobachtbar, sondern aus dem Antwortmuster erschlossen. Typischerweise N(0,1) skaliert: θ = 0 = Durchschnitt. Im Gegensatz zum KTT-Summenscore ist θ <strong>stichprobenunabhängig</strong> — dieselbe Fähigkeit ergibt bei leichteren und schwereren Tests theoretisch denselben θ-Wert.'},
{h:'Was bedeutet b — die Schwierigkeit?',
b:'b ist der <strong>Wendepunkt der ICC</strong>. Beim 2PL gilt P(θ=b) = 0.5. Beim 3PL/4PL gilt P(θ=b) = (c+d)/2. Hohe b-Werte → schwieriges Item. Entscheidend: b und θ liegen auf <strong>derselben Skala</strong>. Ein Item mit b = 1.5 ist genau passend für Personen mit θ ≈ 1.5.'},
{h:'Was bedeutet a — die Trennschärfe?',
b:'a bestimmt die <strong>Steilheit der ICC</strong>. Hohe a → steile Kurve → Item trennt gut zwischen ähnlichen Fähigkeitsniveaus → viel Information. Typisch: a ∈ [0.5, 2.5]. Unter 0.3 ist ein Item kaum informativ. Im Rasch-Modell ist a ≡ 1 per Axiom. Im 1PL wird ein gemeinsames a geschätzt.'},
{h:'Rasch vs. 1PL — wo liegt der Unterschied?',
b:'<strong>Mathematisch:</strong> Beide haben a konstant für alle Items.<br><strong>Philosophisch:</strong> Beim <strong>Rasch-Modell</strong> ist a = 1 per Axiom — Messideal, keine Datenanpassung. Passen Items nicht, werden sie entfernt. Beim <strong>1PL</strong> wird a aus den Daten geschätzt — das Modell wird angepasst.<br><em>Rasch passt Daten dem Modell an — 1PL das Modell den Daten.</em>'},
{h:'Was zeigt die Testinformationsfunktion?',
b:'I(θ) gibt an, wie <strong>präzise der Test bei jedem Fähigkeitsniveau misst</strong>. SE(θ) = 1/√I(θ). Ein Test misst am besten dort, wo viele Items mit b ≈ θ und hohem a vorliegen. Für Selektionsentscheidungen (z.B. Hochbegabtenauswahl) braucht man hohe Information im oberen θ-Bereich — dafür müssen schwierige Items vorhanden sein.'},
{h:'Was ist die Wright Map?',
b:'Die Wright Map zeigt <strong>Personen (θ) und Items (b) auf derselben Skala</strong>. Items mit b ≈ θ sind am informativsten. Sind alle Items zu leicht (b ≪ θ), misst der Test schlecht für diese Person. Die Wright Map ist das zentrale Diagnosewerkzeug zur Testevaluation — sie zeigt sofort, wo ein Test gut und wo er schlecht misst.'},
];
function buildLCards(){
const grid=document.getElementById('lcard-grid');
LK.forEach(({h,b})=>{
const d=document.createElement('div');
d.className='lcard';
d.innerHTML=`<div class="lcard-h">${h}</div><div class="lcard-body">${b}</div>`;
grid.appendChild(d);
});
}
// ── Theme / Help ───────────────────────────────────────────────────────────────
function toggleTheme(){
const doc=document.documentElement;
const dark=doc.getAttribute('data-theme')==='dark';
doc.setAttribute('data-theme',dark?'light':'dark');
document.getElementById('btn-theme').textContent=dark?'🌙 Dark':'☀ Light';
updateAll();
}
function toggleHelp(){
document.getElementById('help-overlay').classList.toggle('open');
}
// ── Init ───────────────────────────────────────────────────────────────────────
function init(){
buildItemBtns();
buildSliders();
buildRespRow();
buildLCards();
selectModel('pl2');
}
window.addEventListener('load',()=>{
requestAnimationFrame(()=>requestAnimationFrame(init));
document.querySelectorAll('.help-p,.help-formula,.theta-est').forEach(el=>{el.innerHTML=fixDiacritics(el.innerHTML);});
});
let _rt;window.addEventListener('resize',()=>{clearTimeout(_rt);_rt=setTimeout(updateAll,60);});
</script>
</body>
</html>