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<title>Range Restriction — MethodsLab</title>
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<h1>Range Restriction <em>— Varianzeinschränkung & Korrelationsattenuation</em></h1>
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</div>
<div class="help-overlay" id="help-overlay">
<div class="help-panel">
<div style="display:flex;justify-content:space-between;align-items:flex-start;margin-bottom:1.3rem">
<h2>Hilfe — Range Restriction (Varianzeinschränkung)</h2>
<button class="help-close" onclick="toggleHelp()">✕ Schließen</button>
</div>
<div class="help-h3">Macht / macht NICHT</div>
<p class="help-p"><strong style="color:var(--ink)">Macht:</strong> zeigt, wie die Selektion auf den Prädiktor X die in der selektierten Gruppe <em>beobachtete</em> Korrelation r systematisch verzerrt — und wie die Thorndike-Formeln den wahren Wert <span class="gk">ρ</span> zurückrechnen. <strong style="color:var(--ink)">Macht NICHT:</strong> keine Schätzung aus echten Daten, kein indirekter Fall mit gemessener Drittvariable (nur Demonstration des Mechanismus unter bivariater Normalität).</p>
<div class="help-h3">Worum geht es?</div>
<p class="help-p">Wenn eine Stichprobe nur einen <strong style="color:var(--ink)">Teil des Wertebereichs</strong> von X abdeckt (weil z. B. nur Bewerber oberhalb eines Test-Cutoffs eingestellt werden), schrumpft die Streuung von X. Die <strong style="color:var(--ink)">Korrelation</strong> zwischen X und Y wird dadurch <em>unterschätzt</em> — obwohl der wahre Zusammenhang in der Gesamtpopulation viel stärker ist. Das ist <strong style="color:var(--ink)">direkte Range Restriction</strong> (Thorndike Fall II).</p>
<div class="help-h3">Das laufende Beispiel</div>
<p class="help-p">Ein Unternehmen validiert einen <strong style="color:var(--a2)">Eignungstest X</strong> gegen den späteren <strong style="color:var(--a1)">Berufserfolg Y</strong>. Aber: nur wer im Test über dem Cutoff liegt, wird eingestellt — nur für diese Personen liegt später ein Y-Wert vor. Die so beobachtete Validität r ist <em>kleiner</em> als die wahre Validität <span class="gk">ρ</span>. Wer die Range Restriction ignoriert, hält einen guten Test fälschlich für unbrauchbar.</p>
<div class="help-h3">Der Mechanismus (Warum?)</div>
<p class="help-p">Korrelation = standardisierte Kovarianz. Die Selektion auf X kappt die Streuung von X (s<sub>x</sub> sinkt), während die <em>Reststreuung</em> von Y um die Regressionsgerade gleich bleibt. Dadurch macht die systematische Variation einen kleineren Anteil an der Gesamtvarianz von Y aus → r sinkt. Schlüsselgröße ist <code>u = s'<sub>x</sub> / s<sub>x</sub></code> (Streuung selektiert ÷ Streuung gesamt).</p>
<div class="help-h3">Die wichtigste Pointe: Steigung bleibt!</div>
<p class="help-p">Unter direkter Selektion auf X bleibt die <strong style="color:var(--ink)">Regressionssteigung</strong> b<sub>Y·X</sub> theoretisch unverändert — nur die Korrelation (und R²) sinken. Im rechten Plot hat die rote Gerade praktisch dieselbe Steigung wie die blaue Populationsgerade; die Punkte streuen nur über einen schmaleren X-Bereich. Korrelation ≠ Steigung.</p>
<div class="help-h3">Die Visualisierungen</div>
<p class="help-p"><strong style="color:var(--ink)">Oben links:</strong> Gesamtpopulation. Graue Punkte = nicht selektiert, rote = selektiert. Die orange Linie ist der Selektions-Cutoff auf X; der schraffierte Bereich fällt weg. <strong style="color:var(--ink)">Oben rechts:</strong> nur die selektierte Gruppe — der schmalere X-Bereich ist sofort sichtbar. Rote Gerade = Regression in der Selektion, blau gestrichelt = Populationsgerade (gleiche Steigung!). Die <strong style="color:var(--ink)">Streuungsbalken</strong> unter den Plots zeigen ±1 s<sub>x</sub>.</p>
<p class="help-p"><strong style="color:var(--ink)">Untere Kurve:</strong> die Thorndike-Beziehung r(u). Sie zeigt für die aktuelle wahre Korrelation <span class="gk">ρ</span>, wie die beobachtete Korrelation vom Streuungsverhältnis u abhängt. Bei u = 1 (keine Einschränkung) ist r = <span class="gk">ρ</span>. Links davon (u < 1, Einschränkung) sinkt r; rechts (u > 1, Erweiterung durch Extremgruppen) steigt r. Der Punkt markiert deinen aktuellen Zustand.</p>
<div class="help-h3">Bedienung</div>
<p class="help-p"><strong style="color:var(--ink)">Selektionsmodus:</strong> <em>Oben</em> (klassische Auslese über Cutoff) · <em>Extremgruppen</em> (oberste + unterste — erhöht r!) · <em>Mitte</em> (mittlerer Bereich). <strong style="color:var(--ink)">Selektionsanteil:</strong> welcher %-Anteil bleibt. <strong style="color:var(--ink)"><span class="gk">ρ</span>:</strong> wahre Populationskorrelation. <strong style="color:var(--ink)">Thorndike-Korrektur:</strong> rechnet aus r<sub>selektiert</sub> und u den korrigierten Wert zurück — er sollte <span class="gk">ρ</span> treffen.</p>
<div class="help-h3">Die Symbole im Detail</div>
<p class="help-p">
<code><span class="gk">ρ</span></code> (rho) — <strong style="color:var(--ink)">wahre</strong> Korrelation in der Gesamtpopulation, also die echte Validität des Tests.<br>
<code>r</code> — die in der <strong style="color:var(--ink)">selektierten</strong> Gruppe <em>beobachtete</em> Korrelation (das, was man real misst).<br>
<code>s<sub>x</sub></code> — Streuung (Standardabweichung) von X in der <strong style="color:var(--ink)">Gesamtpopulation</strong>.<br>
<code>s′<sub>x</sub></code> — Streuung von X in der <strong style="color:var(--ink)">selektierten</strong> Gruppe (der Strich ′ steht für „eingeschränkt").<br>
<code>u = s′<sub>x</sub> / s<sub>x</sub></code> — das <strong style="color:var(--ink)">Streuungsverhältnis</strong>: wie viel der ursprünglichen Streuung übrig ist. u = 1 heißt keine Einschränkung, u < 1 Einschränkung, u > 1 Erweiterung (Extremgruppen).<br>
<code>U = 1/u = s<sub>x</sub> / s′<sub>x</sub></code> — einfach der <strong style="color:var(--ink)">Kehrwert</strong> von u; er taucht nur auf, weil die Korrekturformel „von eingeschränkt nach gesamt" rechnet (≥ 1 bei Einschränkung).<br>
<code>b</code> — die <strong style="color:var(--ink)">Regressionssteigung</strong> von Y auf X; sie bleibt bei direkter Selektion auf X unverzerrt.<br>
<code><span class="gk hat">ρ</span></code> (rho-Dach) — die Thorndike-<strong style="color:var(--ink)">korrigierte Schätzung</strong> von <span class="gk">ρ</span>. Das Dach „^" markiert in der Statistik immer einen <em>geschätzten/berechneten</em> Wert.
</p>
<div class="help-h3">Formeln (Thorndike, Fall II)</div>
<p class="help-p">Attenuation: <code>r = <span class="gk">ρ</span>u / √(1 − <span class="gk">ρ</span>²(1 − u²))</code> · Korrektur: <code><span class="gk hat">ρ</span> = rU / √(1 + r²(U² − 1))</code> mit <code>U = 1/u = s<sub>x</sub>/s′<sub>x</sub></code>.</p>
</div>
</div>
<div id="app">
<div id="sidebar">
<div class="scard">
<div class="scard-title">Szenarien</div>
<button class="preset-btn" id="pre-A" onclick="setPreset('A')">A — Keine Einschränkung (Referenz)</button>
<button class="preset-btn active" id="pre-B" onclick="setPreset('B')">B — Strenge Auslese (Top 20%)</button>
<button class="preset-btn" id="pre-C" onclick="setPreset('C')">C — Extremgruppen (r steigt!)</button>
<button class="preset-btn" id="pre-D" onclick="setPreset('D')">D — Starke <span class="gk">ρ</span>, harte Selektion</button>
</div>
<div class="scard">
<div class="scard-title">Selektionsmodus</div>
<div class="mode-grid">
<button class="mode-btn active" id="mode-top" onclick="setMode('top')">Oben<br>(Cutoff)</button>
<button class="mode-btn" id="mode-extreme" onclick="setMode('extreme')">Extrem-<br>gruppen</button>
<button class="mode-btn" id="mode-middle" onclick="setMode('middle')">Mitte</button>
</div>
<div class="slider-row">
<div class="slider-lbl">
<span class="slider-name">Selektionsanteil (behalten)</span>
<span class="slider-val" id="val-selPct">20%</span>
</div>
<input type="range" id="sl-selPct" min="5" max="100" step="5" value="20" oninput="onSl('selPct',this)">
</div>
</div>
<div class="scard">
<div class="scard-title">Parameter</div>
<div class="slider-row">
<div class="slider-lbl">
<span class="slider-name" style="color:var(--a2)"><span class="gk">ρ</span> (wahre Validität)</span>
<span class="slider-val" id="val-rho">0.60</span>
</div>
<input type="range" id="sl-rho" min="0.00" max="0.90" step="0.05" value="0.60" oninput="onSl('rho',this)">
</div>
</div>
<div class="scard">
<div class="scard-title">Simulation</div>
<div class="slider-row">
<div class="slider-lbl"><span class="slider-name">n</span><span class="slider-val" id="val-n">800</span></div>
<input type="range" id="sl-n" min="200" max="2000" step="100" value="800" oninput="onSl('n',this)">
</div>
<button class="seed-btn" onclick="newSeed()">⟳ Neue Stichprobe</button>
</div>
</div><!-- /sidebar -->
<div id="main">
<div class="story-box">
<div class="story-lbl">📋 Beispiel — Eignungsdiagnostik</div>
Ein Unternehmen prüft, ob der Eignungstest X den späteren Berufserfolg Y vorhersagt. Die wahre Validität in der Bewerberpopulation ist <span class="gk">ρ</span> = <span id="ex-rho" style="color:var(--a2);font-weight:600">0.60</span>. Eingestellt wird aber nur <span id="ex-pct">20</span>% (Selektion auf X). In dieser <em>eingeschränkten</em> Gruppe beobachtet man bloß r = <span id="ex-rsel" style="color:var(--a1);font-weight:600">—</span> — der Test wirkt schwächer, als er ist. Die Thorndike-Korrektur liefert wieder <span class="gk hat">ρ</span> = <span id="ex-rcorr" style="color:var(--a3);font-weight:600">—</span>.
</div>
<div class="sec-h">Was bedeuten die Symbole?</div>
<div class="sym-grid">
<div class="sym"><b><span class="gk">ρ</span></b><span><strong>wahre</strong> Korrelation in der Gesamtpopulation (hier: wahre Test-Validität)</span></div>
<div class="sym"><b>r</b><span><strong>beobachtete</strong> Korrelation in der selektierten Gruppe</span></div>
<div class="sym"><b>s<sub>x</sub></b><span>Streuung (SD) von X in der <strong>Gesamtpopulation</strong></span></div>
<div class="sym"><b>s′<sub>x</sub></b><span>Streuung von X in der <strong>selektierten</strong> Gruppe (Strich ′ = eingeschränkt)</span></div>
<div class="sym"><b>u</b><span><strong>Streuungsverhältnis</strong> s′<sub>x</sub>/s<sub>x</sub>: < 1 = Einschränkung, = 1 = keine, > 1 = Erweiterung</span></div>
<div class="sym"><b>U</b><span><strong>Kehrwert</strong> 1/u (= s<sub>x</sub>/s′<sub>x</sub>) — Schreibhilfe in der Korrekturformel</span></div>
<div class="sym"><b>b</b><span>Regressions<strong>steigung</strong> Y auf X — bleibt bei Selektion auf X unverzerrt</span></div>
<div class="sym"><b><span class="gk hat">ρ</span></b><span>Thorndike-<strong>korrigierte</strong> Schätzung von <span class="gk">ρ</span> aus r und u (sollte <span class="gk">ρ</span> treffen)</span></div>
</div>
<div class="sec-h">Gesamtpopulation vs. eingeschränkte Gruppe</div>
<div class="canvas-wrap">
<canvas id="plot-canvas"></canvas>
</div>
<div class="kw-grid">
<div class="kw-box">
<div class="kw-label" style="color:var(--a2)"><span class="gk">ρ</span> Population</div>
<div class="kw-val" id="kw-rpop" style="color:var(--a2)">—</div>
<div class="kw-sub">wahre Korrelation</div>
</div>
<div class="kw-box">
<div class="kw-label">u = s′ / s</div>
<div class="kw-val" id="kw-u" style="color:var(--ink)">—</div>
<div class="kw-sub" id="kw-u-sub">Streuungsverhältnis</div>
</div>
<div class="kw-box">
<div class="kw-label" style="color:var(--a1)">r selektiert</div>
<div class="kw-val" id="kw-rsel" style="color:var(--a1)">—</div>
<div class="kw-sub" id="kw-rsel-sub">beobachtet</div>
</div>
<div class="kw-box">
<div class="kw-label" style="color:var(--a3)"><span class="gk hat">ρ</span> Thorndike</div>
<div class="kw-val" id="kw-rcorr" style="color:var(--a3)">—</div>
<div class="kw-sub">korrigiert zurück</div>
</div>
</div>
<div class="insight-box" id="insight-box">
<strong>Schlussfolgerung:</strong> <span id="ins-text">—</span>
</div>
<div class="sec-h">Thorndike-Beziehung — beobachtetes r über dem Streuungsverhältnis u</div>
<div class="canvas-wrap">
<canvas id="curve-canvas"></canvas>
</div>
<div class="sec-h">Formel (Thorndike, Fall II — direkte Selektion auf X)</div>
<div class="eq-wrap">
<div class="eq-main">
<span style="color:var(--ink3)">Attenuation: </span>
<span style="color:var(--a1)">r</span>
<span style="color:var(--ink3)"> = </span>
<span style="color:var(--a2)">ρ</span><span style="color:var(--ink)">·u</span>
<span style="color:var(--ink3)"> / √( 1 − </span><span style="color:var(--a2)">ρ²</span><span style="color:var(--ink3)">(1 − u²) )</span>
<span style="color:var(--ink3);font-size:.78rem;margin-left:1rem">mit u = s′<sub>x</sub>/s<sub>x</sub></span>
</div>
<div class="eq-main" style="margin-top:.2rem">
<span style="color:var(--ink3)">Korrektur: </span>
<span class="gk hat" style="color:var(--a3)">ρ</span>
<span style="color:var(--ink3)"> = </span>
<span style="color:var(--a1)">r</span><span style="color:var(--ink)">·U</span>
<span style="color:var(--ink3)"> / √( 1 + </span><span style="color:var(--a1)">r²</span><span style="color:var(--ink3)">(U² − 1) )</span>
<span style="color:var(--ink3);font-size:.78rem;margin-left:1rem">mit U = 1/u = s<sub>x</sub>/s′<sub>x</sub></span>
</div>
<div style="font-family:'DM Mono',monospace;font-size:.74rem;color:var(--ink3);margin-top:.5rem;
padding-top:.4rem;border-top:1px solid var(--grid);line-height:1.75">
Aktuell: u = <span id="eq-u" style="color:var(--ink)">—</span> ·
r<sub>beobachtet</sub> = <span id="eq-robs" style="color:var(--a1)">—</span> ·
r<sub>Formel</sub>(<span class="gk">ρ</span>,u) = <span id="eq-rpred" style="color:var(--a5)">—</span> ·
<span class="gk hat">ρ</span><sub>korrigiert</sub> = <span id="eq-rcorr" style="color:var(--a3)">—</span>
</div>
</div>
<div class="learn-section">
<div class="sec-h">Konzepte</div>
<div class="lcard-grid">
<div class="lcard">
<div class="lcard-h">Was ist Range Restriction?</div>
<div class="lcard-body">Wird eine Stichprobe so gewonnen, dass nur ein Teil des Wertebereichs einer Variable vertreten ist, spricht man von <strong>Varianzeinschränkung</strong>. Weil die Korrelation die <em>gemeinsame</em> standardisierte Variation misst, sinkt sie, sobald die Streuung des Prädiktors gekappt wird. Der beobachtete Zusammenhang <strong>unterschätzt</strong> dann den wahren — ein häufiger Grund, warum Tests, Auswahlverfahren oder Prädiktoren scheinbar „nicht funktionieren".</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h">Direkt vs. indirekt (Fall II vs. III)</div>
<div class="lcard-body"><strong>Direkte</strong> Range Restriction (Thorndike Fall II): selektiert wird auf den Prädiktor X selbst (z. B. Cutoff im Eignungstest). <strong>Indirekte</strong> (Fall III): selektiert wird auf eine <em>dritte</em> Variable Z, die mit X korreliert — X wird nur „mitgekappt". Der indirekte Fall ist in der Praxis häufiger (z. B. Selektion auf ein früheres Gesamturteil) und braucht die erweiterte Formel von Lawley / die Korrektur nach Hunter, Schmidt & Le (2006). Dieses Tool zeigt den direkten Fall.</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h">Korrelation sinkt, Steigung bleibt</div>
<div class="lcard-body">Die wichtigste Lektion: unter direkter Selektion auf X ist nur die <strong>Korrelation</strong> verzerrt, die <strong>Regressionssteigung</strong> b<sub>Y·X</sub> dagegen erwartungstreu. Grund: die bedingte Verteilung Y|X ändert sich durch X-Selektion nicht. Im rechten Plot haben rote (Selektion) und blau-gestrichelte (Population) Gerade dieselbe Steigung. Wer Vorhersagen braucht, kann die Regression auch aus eingeschränkten Daten gewinnen — wer Effektstärken vergleicht, muss korrigieren.</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h">Extremgruppen — die Umkehrung</div>
<div class="lcard-body">Behält man nur die <strong>obersten und untersten</strong> Werte (Extremgruppen-Design), <em>vergrößert</em> sich die Streuung von X (u > 1) und die Korrelation wird künstlich <strong>aufgebläht</strong>. Das ist die spiegelbildliche Verzerrung: beliebt, um Effekte „sichtbarer" zu machen, aber r und d sind dann nicht mehr auf die Population übertragbar. Probier Preset C: derselbe wahre <span class="gk">ρ</span>, aber r schießt nach oben.</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h">Bezug zu Taylor-Russell</div>
<div class="lcard-body">Die <strong>Taylor-Russell-Tabellen</strong> beantworten die ökonomische Folgefrage: Wenn ein Test die (korrigierte) Validität <span class="gk">ρ</span> hat, eine Selektionsquote angewandt wird und eine Grundquote an „Geeigneten" besteht — welcher Anteil der Ausgewählten ist erfolgreich? Range Restriction liefert das <em>korrekte</em> <span class="gk">ρ</span> als Eingabe; ohne Korrektur unterschätzt man den Nutzen des Verfahrens systematisch. <a href="Taylor_Russell.html" target="_blank" rel="noopener" style="color:var(--a2);font-weight:500;text-decoration:none;border-bottom:1px solid var(--a2)">→ Taylor-Russell-Tafeln</a></div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h">Praxis & Literatur</div>
<div class="lcard-body">Range Restriction ist ein Kernthema der Metaanalyse von Validitätsstudien (Personalauswahl, klinische Prädiktion, Hochschulzulassung). Faustregeln: (1) immer u = s′/s berichten; (2) bei Selektion auf X den Fall-II-, bei Selektion auf Drittvariablen den Fall-III-Korrektur verwenden; (3) korrigierte Werte als solche kennzeichnen. Literatur: Thorndike (1949); Sackett & Yang (2000); Hunter, Schmidt & Le (2006).</div>
</div>
<div class="lcard">
<div class="lcard-h">Abgrenzung: Berkson's Paradox</div>
<div class="lcard-body"><strong>Gemeinsam:</strong> beide sind Selektionseffekte — eine nach einem Kriterium ausgewählte Teilgruppe verzerrt die beobachtete Korrelation, man sieht nie die ganze Population. <strong>Unterschied:</strong> Bei Range Restriction selektiert man <em>direkt auf den Prädiktor X</em> → r wird gedämpft (oder bei Extremgruppen aufgebläht), aber die Regressionssteigung b<sub>Y·X</sub> bleibt erwartungstreu. Bei <strong>Berkson</strong> selektiert man auf einen <em>Collider Z</em> (gemeinsame Wirkung X→Z←Y) → es entsteht eine <em>Schein</em>korrelation aus dem Nichts, und auch die Steigung wird verzerrt. Kurz: hier ein <strong>Varianz</strong>problem (mit Thorndike korrigierbar), dort ein <strong>Struktur</strong>problem (Collider niemals kontrollieren). Die Brücke ist die <em>indirekte</em> Range Restriction (Fall III, Selektion auf eine Drittvariable). <a href="Berksons_Paradox.html" target="_blank" rel="noopener" style="color:var(--a2);font-weight:500;text-decoration:none;border-bottom:1px solid var(--a2)">→ Berkson's Paradox & Collider Bias</a></div>
</div>
</div>
</div>
</div><!-- /main -->
</div><!-- /app -->
<script>
const ST={n:800,rho:0.60,selPct:20,selMode:'top',seed:42,data:null};
function mulberry32(a){
return function(){a|=0;a=a+0x6D2B79F5|0;var t=Math.imul(a^a>>>15,1|a);t=t+Math.imul(t^t>>>7,61|t)^t;return((t^t>>>14)>>>0)/4294967296;};
}
function makeGauss(rand){
let sp=null;
return ()=>{
if(sp!==null){const s=sp;sp=null;return s;}
const u1=Math.max(rand(),1e-15),u2=rand();
const m=Math.sqrt(-2*Math.log(u1));
sp=m*Math.sin(2*Math.PI*u2);return m*Math.cos(2*Math.PI*u2);
};
}
function css(v){return getComputedStyle(document.documentElement).getPropertyValue(v).trim();}
function f2u(v){return isFinite(v)?v.toFixed(2):'—';}
function mean(arr){return arr.reduce((s,v)=>s+v,0)/arr.length;}
function sd(arr){const m=mean(arr);return Math.sqrt(arr.reduce((s,v)=>s+(v-m)*(v-m),0)/arr.length);}
function sampleCorr(pts,gx,gy){
const n=pts.length;if(n<2)return NaN;
const mx=pts.reduce((s,p)=>s+gx(p),0)/n,my=pts.reduce((s,p)=>s+gy(p),0)/n;
let sxy=0,sx2=0,sy2=0;
pts.forEach(p=>{const dx=gx(p)-mx,dy=gy(p)-my;sxy+=dx*dy;sx2+=dx*dx;sy2+=dy*dy;});
return sx2===0||sy2===0?0:sxy/Math.sqrt(sx2*sy2);
}
function linReg(pts,gx,gy){
const n=pts.length;if(n<2)return{sl:0,ic:0};
const mx=pts.reduce((s,p)=>s+gx(p),0)/n,my=pts.reduce((s,p)=>s+gy(p),0)/n;
let sxy=0,sx2=0;
pts.forEach(p=>{const dx=gx(p)-mx;sxy+=dx*(gy(p)-my);sx2+=dx*dx;});
const sl=sx2===0?0:sxy/sx2;
return{sl,ic:my-sl*mx};
}
// Thorndike Case II
function attenuate(rho,u){return rho*u/Math.sqrt(1-rho*rho*(1-u*u));}
function correct(r,u){const U=1/u;return r*U/Math.sqrt(1+r*r*(U*U-1));}
function genData(){
const rand=mulberry32(ST.seed),gauss=makeGauss(rand);
const rho=ST.rho;
const sigY=Math.sqrt(Math.max(0,1-rho*rho));
const pts=Array.from({length:ST.n},()=>{
const x=gauss();
const y=rho*x+sigY*gauss();
return{x,y,sel:false};
});
const xVals=[...pts].map(p=>p.x).sort((a,b)=>a-b);
const p=ST.selPct/100;
if(ST.selMode==='top'){
const cut=xVals[Math.floor(ST.n*(1-p))];
ST.cuts=[cut];
pts.forEach(pt=>pt.sel=pt.x>=cut);
} else if(ST.selMode==='middle'){
const lo=xVals[Math.floor(ST.n*(0.5-p/2))];
const hi=xVals[Math.ceil(ST.n*(0.5+p/2))-1];
ST.cuts=[lo,hi];
pts.forEach(pt=>pt.sel=pt.x>=lo&&pt.x<=hi);
} else { // extreme
const lo=xVals[Math.max(0,Math.floor(ST.n*(p/2))-1)];
const hi=xVals[Math.floor(ST.n*(1-p/2))];
ST.cuts=[lo,hi];
pts.forEach(pt=>pt.sel=pt.x<=lo||pt.x>=hi);
}
return pts;
}
function drawCanvas(){
const canvas=document.getElementById('plot-canvas');
const ctx=canvas.getContext('2d');
const dpr=window.devicePixelRatio||1;
const W=canvas.offsetWidth||700;
const H=500;
canvas.width=Math.round(W*dpr);canvas.height=Math.round(H*dpr);
canvas.style.height=H+'px';
ctx.setTransform(dpr,0,0,dpr,0,0);
const cBg=css('--panel'),cPaper=css('--paper'),cInk=css('--ink'),cInk2=css('--ink2'),cInk3=css('--ink3');
const cGrid=css('--grid'),cA1=css('--a1'),cA2=css('--a2'),cA5=css('--a5');
ctx.fillStyle=cBg;ctx.fillRect(0,0,W,H);
const lim=3.6;
const ML=56,MR=14,MT=52,MB=92,gap=24;
const panW=Math.floor((W-ML-MR-gap)/2);
const PH=H-MT-MB;
const txL=v=>ML+(v+lim)/(2*lim)*panW;
const txR=v=>ML+panW+gap+(v+lim)/(2*lim)*panW;
const ty=v=>MT+PH-(v+lim)/(2*lim)*PH;
const pts=ST.data||[];
const selPts=pts.filter(p=>p.sel);
const allReg=linReg(pts,p=>p.x,p=>p.y);
const selReg=linReg(selPts,p=>p.x,p=>p.y);
const rAll=sampleCorr(pts,p=>p.x,p=>p.y);
const rSel=sampleCorr(selPts,p=>p.x,p=>p.y);
const sdAllX=sd(pts.map(p=>p.x));
const sdSelX=selPts.length?sd(selPts.map(p=>p.x)):0;
// Boxed legend (translucent background so it never overlaps points/lines)
function legendBox(x,y,items){
const fp=13,mk=30,padX=9,padY=8,rowH=fp+9;
ctx.font=fp+'px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='left';
let maxw=0;items.forEach(it=>{const w=ctx.measureText(it.text).width;if(w>maxw)maxw=w;});
const boxW=mk+maxw+padX*2,boxH=items.length*rowH+padY*2-4;
ctx.fillStyle=cPaper+'f2';ctx.strokeStyle=cGrid;ctx.lineWidth=1;
ctx.fillRect(x,y,boxW,boxH);ctx.strokeRect(x,y,boxW,boxH);
items.forEach((it,i)=>{
const cy=y+padY+i*rowH+fp*0.55;
if(it.marker==='dot'){
ctx.beginPath();ctx.arc(x+padX+6,cy-2,5,0,2*Math.PI);ctx.fillStyle=it.color;ctx.fill();
}else{
ctx.strokeStyle=it.color;ctx.lineWidth=it.marker==='solid'?3:2.2;
if(it.marker==='dash')ctx.setLineDash([6,4]);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(x+padX,cy-2);ctx.lineTo(x+padX+22,cy-2);ctx.stroke();ctx.setLineDash([]);
}
ctx.fillStyle=cInk;ctx.font=fp+'px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='left';
ctx.fillText(it.text,x+padX+mk,cy+2);
});
return boxH;
}
function statBox(x,y,lines){
const fp=15,padX=10,padY=8,rowH=fp+8;
ctx.font='bold '+fp+'px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='left';
let maxw=0;lines.forEach(l=>{const w=ctx.measureText(l.text).width;if(w>maxw)maxw=w;});
const boxW=maxw+padX*2,boxH=lines.length*rowH+padY*2-4;
ctx.fillStyle=cPaper+'f2';ctx.strokeStyle=cGrid;ctx.lineWidth=1;
ctx.fillRect(x,y,boxW,boxH);ctx.strokeRect(x,y,boxW,boxH);
lines.forEach((l,i)=>{
ctx.fillStyle=l.color;ctx.font='bold '+fp+'px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='left';
ctx.fillText(l.text,x+padX,y+padY+i*rowH+fp);
});
return boxH;
}
function drawPanel(txFn,xOff,title,col,showCuts,showSelOnly){
// Grid
ctx.strokeStyle=cGrid;ctx.lineWidth=0.7;
for(let v=-3;v<=3;v++){
ctx.beginPath();ctx.moveTo(txFn(v),MT);ctx.lineTo(txFn(v),MT+PH);ctx.stroke();
ctx.beginPath();ctx.moveTo(xOff,ty(v));ctx.lineTo(xOff+panW,ty(v));ctx.stroke();
}
// Axes
ctx.strokeStyle=cInk3+'66';ctx.lineWidth=1;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(txFn(0),MT);ctx.lineTo(txFn(0),MT+PH);ctx.stroke();
ctx.beginPath();ctx.moveTo(xOff,ty(0));ctx.lineTo(xOff+panW,ty(0));ctx.stroke();
// Shade non-selected X-region + cutoff lines (left panel only)
if(showCuts && ST.cuts){
ctx.fillStyle=cInk3+'1f';
const shade=(x0,x1)=>{const a=txFn(Math.max(-lim,x0)),b=txFn(Math.min(lim,x1));ctx.fillRect(Math.min(a,b),MT,Math.abs(b-a),PH);};
if(ST.selMode==='top'){shade(-lim,ST.cuts[0]);}
else if(ST.selMode==='middle'){shade(-lim,ST.cuts[0]);shade(ST.cuts[1],lim);}
else {shade(ST.cuts[0],ST.cuts[1]);}
ctx.strokeStyle=cA5;ctx.lineWidth=1.8;ctx.setLineDash([6,4]);
ST.cuts.forEach(c=>{ctx.beginPath();ctx.moveTo(txFn(c),MT);ctx.lineTo(txFn(c),MT+PH);ctx.stroke();});
ctx.setLineDash([]);
}
// Population regression line (blue, solid in left / dashed in right)
ctx.strokeStyle=cA2;ctx.lineWidth=1.8;
if(showSelOnly){ctx.setLineDash([7,5]);ctx.globalAlpha=0.9;}
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(txFn(-lim),ty(allReg.sl*-lim+allReg.ic));
ctx.lineTo(txFn(lim),ty(allReg.sl*lim+allReg.ic));
ctx.stroke();ctx.setLineDash([]);ctx.globalAlpha=1;
// Data points
const drawPts=showSelOnly?selPts:pts;
drawPts.forEach(p=>{
ctx.beginPath();
ctx.arc(txFn(p.x),ty(p.y),showSelOnly?2.8:(p.sel?2.7:1.8),0,2*Math.PI);
ctx.fillStyle=p.sel?cA1+'cc':cInk3+'40';
ctx.fill();
});
// Selected regression line (red, right panel)
if(showSelOnly && selPts.length>1){
ctx.strokeStyle=cA1;ctx.lineWidth=2.4;
// draw only across selected x-range for honesty
let xa=-lim,xb=lim;
if(ST.cuts){
if(ST.selMode==='top'){xa=ST.cuts[0];}
else if(ST.selMode==='middle'){xa=ST.cuts[0];xb=ST.cuts[1];}
}
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(txFn(xa),ty(selReg.sl*xa+selReg.ic));
ctx.lineTo(txFn(xb),ty(selReg.sl*xb+selReg.ic));
ctx.stroke();
}
// Panel border
ctx.strokeStyle=cGrid;ctx.lineWidth=1;
ctx.strokeRect(xOff,MT,panW,PH);
// Title
ctx.font='bold 15px DM Mono,monospace';ctx.fillStyle=col;ctx.textAlign='center';
ctx.fillText(title,xOff+panW/2,MT-15);
// Stats box (top-left) + legend box (bottom-left), both with background
const rShow=showSelOnly?rSel:rAll;
const slShow=showSelOnly?selReg.sl:allReg.sl;
statBox(xOff+10,MT+10,[
{text:'r = '+f2u(rShow),color:showSelOnly?cA1:cA2},
{text:'b = '+f2u(slShow),color:cInk2}
]);
const legItems=showSelOnly?[
{marker:'dash',color:cA2,text:'Populationssteigung'},
{marker:'solid',color:cA1,text:'Regression (Selektion)'}
]:[
{marker:'dash',color:cA5,text:'Cutoff (Selektion)'},
{marker:'dot',color:cA1,text:'selektiert'},
{marker:'dot',color:cInk3,text:'nicht selektiert'}
];
legendBox(xOff+10,MT+PH-(legItems.length*22+12)-10,legItems);
// X SD whisker bar below panel
const sdv=showSelOnly?sdSelX:sdAllX;
const mx=showSelOnly?(selPts.length?mean(selPts.map(p=>p.x)):0):0;
const by=MT+PH+40;
ctx.strokeStyle=showSelOnly?cA1:cA2;ctx.lineWidth=2.4;
ctx.beginPath();ctx.moveTo(txFn(mx-sdv),by);ctx.lineTo(txFn(mx+sdv),by);ctx.stroke();
[mx-sdv,mx+sdv].forEach(xx=>{ctx.beginPath();ctx.moveTo(txFn(xx),by-5);ctx.lineTo(txFn(xx),by+5);ctx.stroke();});
ctx.fillStyle=showSelOnly?cA1:cA2;ctx.font='13px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('±1 s'+(showSelOnly?'′':'')+'ₓ = '+sdv.toFixed(2),xOff+panW/2,by+20);
// X axis ticks
ctx.fillStyle=cInk3;ctx.font='13px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='center';
for(let v=-3;v<=3;v++) ctx.fillText(v===0?'0':v,txFn(v),MT+PH+18);
}
drawPanel(txL,ML,'Gesamtpopulation (n='+pts.length+')',cInk2,true,false);
drawPanel(txR,ML+panW+gap,'Eingeschränkt (n='+selPts.length+')',cA1,false,true);
// Axis labels
ctx.fillStyle=cInk2;ctx.font='14px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('Eignungstest X',ML+panW/2,H-8);
ctx.fillText('Eignungstest X',ML+panW+gap+panW/2,H-8);
// Y ticks + label
ctx.fillStyle=cInk3;ctx.font='13px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='right';
for(let v=-3;v<=3;v++) ctx.fillText(v===0?'0':v,ML-6,ty(v)+4);
ctx.save();ctx.translate(16,MT+PH/2);ctx.rotate(-Math.PI/2);
ctx.fillStyle=cInk2;ctx.font='14px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('Berufserfolg Y',0,0);ctx.restore();
}
function drawCurve(){
const canvas=document.getElementById('curve-canvas');
const ctx=canvas.getContext('2d');
const dpr=window.devicePixelRatio||1;
const W=canvas.offsetWidth||700;
const H=340;
canvas.width=Math.round(W*dpr);canvas.height=Math.round(H*dpr);
canvas.style.height=H+'px';
ctx.setTransform(dpr,0,0,dpr,0,0);
const cBg=css('--panel'),cInk=css('--ink'),cInk2=css('--ink2'),cInk3=css('--ink3');
const cGrid=css('--grid'),cA1=css('--a1'),cA2=css('--a2'),cA3=css('--a3'),cA5=css('--a5');
ctx.fillStyle=cBg;ctx.fillRect(0,0,W,H);
const ML=60,MR=22,MT=42,MB=58;
const PW=W-ML-MR,PH=H-MT-MB;
const uMax=1.6,rMax=1;
const tx=u=>ML+u/uMax*PW;
const ty=r=>MT+PH-r/rMax*PH;
const pts=ST.data||[];
const selPts=pts.filter(p=>p.sel);
const rho=ST.rho;
const sdAllX=sd(pts.map(p=>p.x));
const sdSelX=selPts.length?sd(selPts.map(p=>p.x)):0;
const u=sdAllX>0?sdSelX/sdAllX:0;
const rSel=sampleCorr(selPts,p=>p.x,p=>p.y);
// Shade restriction (u<1) vs expansion (u>1)
ctx.fillStyle=cA1+'12';ctx.fillRect(ML,MT,tx(1)-ML,PH);
ctx.fillStyle=cA3+'12';ctx.fillRect(tx(1),MT,ML+PW-tx(1),PH);
// Grid + ticks
ctx.strokeStyle=cGrid;ctx.lineWidth=0.7;
for(let r=0;r<=1.0001;r+=0.2){ctx.beginPath();ctx.moveTo(ML,ty(r));ctx.lineTo(ML+PW,ty(r));ctx.stroke();
ctx.fillStyle=cInk3;ctx.font='13px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='right';ctx.fillText(r.toFixed(1),ML-9,ty(r)+4);}
for(let uu=0;uu<=uMax+0.001;uu+=0.2){ctx.beginPath();ctx.moveTo(tx(uu),MT);ctx.lineTo(tx(uu),MT+PH);ctx.stroke();
ctx.fillStyle=cInk3;ctx.font='13px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='center';ctx.fillText(uu.toFixed(1),tx(uu),MT+PH+20);}
// u=1 reference
ctx.strokeStyle=cInk3+'aa';ctx.lineWidth=1.3;ctx.setLineDash([5,4]);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(tx(1),MT);ctx.lineTo(tx(1),MT+PH);ctx.stroke();ctx.setLineDash([]);
ctx.fillStyle=cInk3;ctx.font='italic 13px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('u=1 · keine Einschränkung',tx(1),MT-11);
// Theoretical attenuation curve r(u) for current rho
ctx.strokeStyle=cA5;ctx.lineWidth=2.4;ctx.beginPath();
let started=false;
for(let uu=0;uu<=uMax+0.001;uu+=0.01){
const r=attenuate(rho,uu);
if(r<0||r>rMax)continue;
const X=tx(uu),Y=ty(r);
if(!started){ctx.moveTo(X,Y);started=true;}else ctx.lineTo(X,Y);
}
ctx.stroke();
// rho horizontal reference (value at u=1)
ctx.strokeStyle=cA2+'88';ctx.lineWidth=1.2;ctx.setLineDash([3,4]);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(ML,ty(rho));ctx.lineTo(tx(1),ty(rho));ctx.stroke();ctx.setLineDash([]);
ctx.fillStyle=cA2;ctx.font='13px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='left';
ctx.fillText('ρ = '+rho.toFixed(2),ML+6,ty(rho)-6);
// Current point
if(u>0 && isFinite(rSel)){
const X=tx(Math.min(u,uMax)),Y=ty(Math.max(0,Math.min(rSel,rMax)));
ctx.strokeStyle=cInk3+'88';ctx.lineWidth=1;ctx.setLineDash([3,3]);
ctx.beginPath();ctx.moveTo(X,MT+PH);ctx.lineTo(X,Y);ctx.lineTo(ML,Y);ctx.stroke();ctx.setLineDash([]);
ctx.beginPath();ctx.arc(X,Y,7,0,2*Math.PI);ctx.fillStyle=cA1;ctx.fill();
ctx.strokeStyle=cBg;ctx.lineWidth=2;ctx.stroke();
const lbl='r = '+f2u(rSel)+' (u = '+f2u(u)+')';
ctx.font='bold 14px DM Mono,monospace';
const lw=ctx.measureText(lbl).width, lxp=Math.min(X+13,ML+PW-lw-6);
ctx.fillStyle=cBg+'e0';ctx.fillRect(lxp-4,Y-22,lw+8,20);
ctx.fillStyle=cA1;ctx.textAlign='left';
ctx.fillText(lbl,lxp,Y-7);
}
// Axis labels
ctx.fillStyle=cInk2;ctx.font='14px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('Streuungsverhältnis u = s′ₓ / sₓ',ML+PW/2,H-8);
ctx.fillStyle=cA1;ctx.font='12.5px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('← Einschränkung (r sinkt)',tx(0.5),MT+16);
ctx.fillStyle=cA3;
ctx.fillText('Erweiterung (r steigt) →',tx(1.3),MT+16);
ctx.save();ctx.translate(18,MT+PH/2);ctx.rotate(-Math.PI/2);
ctx.fillStyle=cInk2;ctx.font='14px DM Mono,monospace';ctx.textAlign='center';
ctx.fillText('beobachtetes r',0,0);ctx.restore();
}
function updateStats(){
const pts=ST.data||[];
const selPts=pts.filter(p=>p.sel);
const rAll=sampleCorr(pts,p=>p.x,p=>p.y);
const rSel=sampleCorr(selPts,p=>p.x,p=>p.y);
const sdAllX=sd(pts.map(p=>p.x));
const sdSelX=selPts.length?sd(selPts.map(p=>p.x)):0;
const u=sdAllX>0?sdSelX/sdAllX:0;
const rCorr=u>0?correct(rSel,u):NaN;
const rPred=attenuate(rAll,u);
const pct=Math.round(selPts.length/pts.length*100);
document.getElementById('kw-rpop').textContent=f2u(rAll);
document.getElementById('kw-u').textContent=f2u(u);
document.getElementById('kw-u-sub').textContent=u<0.98?'eingeschränkt':u>1.02?'erweitert':'≈ unverändert';
document.getElementById('kw-rsel').textContent=f2u(rSel);
document.getElementById('kw-rsel-sub').textContent=pct+'% behalten';
document.getElementById('kw-rcorr').textContent=f2u(rCorr);
document.getElementById('eq-u').textContent=f2u(u);
document.getElementById('eq-robs').textContent=f2u(rSel);
document.getElementById('eq-rpred').textContent=f2u(rPred);
document.getElementById('eq-rcorr').textContent=f2u(rCorr);
document.getElementById('ex-rho').textContent=ST.rho.toFixed(2);
document.getElementById('ex-pct').textContent=ST.selPct;
document.getElementById('ex-rsel').textContent=f2u(rSel);
document.getElementById('ex-rcorr').textContent=f2u(rCorr);
let txt='';
if(ST.selMode==='extreme'){
txt='Extremgruppen-Design: nur die obersten und untersten '+(ST.selPct)+'% bleiben. Die X-Streuung wächst (u = '+f2u(u)+' > 1), und die beobachtete Korrelation r = '+f2u(rSel)+' ist künstlich größer als das wahre ρ = '+f2u(rAll)+'. Die Thorndike-Korrektur zieht sie wieder auf das korrigierte ρ = '+f2u(rCorr)+' herunter — solche aufgeblähten r dürfen nicht auf die Population übertragen werden.';
} else if(ST.selPct>=100){
txt='Keine Einschränkung (100% behalten): u = '+f2u(u)+' ≈ 1, beobachtetes r = '+f2u(rSel)+' entspricht dem wahren ρ = '+f2u(rAll)+'. Referenzzustand.';
} else {
const drop=rAll-rSel;
txt='Die Selektion auf X (nur '+pct+'% behalten) drückt die X-Streuung auf u = '+f2u(u)+'. Dadurch sinkt die beobachtete Korrelation von ρ = '+f2u(rAll)+' auf r = '+f2u(rSel)+' (Δ = −'+f2u(Math.abs(drop))+') — der Test wirkt schwächer, als er ist. Die Regressionssteigung bleibt dabei nahezu gleich. Thorndike-korrigiert: das korrigierte ρ = '+f2u(rCorr)+', praktisch der wahre Wert.';
}
document.getElementById('ins-text').textContent=txt;
}
function recompute(){
ST.data=genData();
drawCanvas();
drawCurve();
updateStats();
}
function onSl(key,el){
const v=parseFloat(el.value);
ST[key]=v;
const d=document.getElementById('val-'+key);
if(d){
if(key==='n') d.textContent=v;
else if(key==='selPct') d.textContent=v+'%';
else d.textContent=v.toFixed(2);
}
document.querySelectorAll('.preset-btn').forEach(b=>b.classList.remove('active'));
recompute();
}
function setMode(m){
ST.selMode=m;
document.querySelectorAll('.mode-btn').forEach(b=>b.classList.remove('active'));
document.getElementById('mode-'+m).classList.add('active');
document.querySelectorAll('.preset-btn').forEach(b=>b.classList.remove('active'));
recompute();
}
const PRESETS={
A:{n:800,rho:0.60,selPct:100,selMode:'top'},
B:{n:800,rho:0.60,selPct:20,selMode:'top'},
C:{n:800,rho:0.50,selPct:30,selMode:'extreme'},
D:{n:1200,rho:0.80,selPct:15,selMode:'top'},
};
function setPreset(k){
const p=PRESETS[k];if(!p)return;
Object.assign(ST,p);
document.getElementById('sl-n').value=ST.n;document.getElementById('val-n').textContent=ST.n;
document.getElementById('sl-rho').value=ST.rho;document.getElementById('val-rho').textContent=ST.rho.toFixed(2);
document.getElementById('sl-selPct').value=ST.selPct;document.getElementById('val-selPct').textContent=ST.selPct+'%';
document.querySelectorAll('.preset-btn').forEach(b=>b.classList.remove('active'));
document.getElementById('pre-'+k).classList.add('active');
document.querySelectorAll('.mode-btn').forEach(b=>b.classList.remove('active'));
document.getElementById('mode-'+ST.selMode).classList.add('active');
recompute();
}
function newSeed(){ST.seed=Math.floor(Math.random()*999999);recompute();}
function toggleHelp(){document.getElementById('help-overlay').classList.toggle('open');}
function toggleTheme(){
const dark=document.documentElement.getAttribute('data-theme')==='dark';
document.documentElement.setAttribute('data-theme',dark?'light':'dark');
document.getElementById('theme-btn').textContent=dark?'🌙 Dark':'☀ Light';
recompute();
}
window.addEventListener('resize',()=>{drawCanvas();drawCurve();});
setPreset('B');
</script>
</body>
</html>