779. K-th Symbol in Grammar

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+# 779. K-th Symbol in Grammar
+- 問題: https://leetcode.com/problems/k-th-symbol-in-grammar/
+- 言語: Python
+
+## Step1
+### 方針
+- $2^{30} ≈ 10^{8}$ 
+- `0 → 0|1 → 01|10 , 0|1|1|0 → 01|10|10|01 ...` と長さが毎回2倍（$n^2$）になる、すべてのビットパターンを素直に列挙すると指数時間の計算量であり、Python だと 1.07 × 10^{9} / 10^{7} ​≈ 107 秒
+  - 実際にはこれより前に空間（ $2^{29}$ 文字 ≈ 5億文字）でMLEの可能性
+- 前の状態に依存するからDPか？
+- 15分ほど経過したので正答を調べる
+
+### 正答
+- 1-indexed
+#### 方針1：親子関係をたどる再帰
+- n 行目の k 番目の記号は、n-1 行目（前の行）の $⌈k/2⌉$ 番目の記号（＝親）から生成できる
+  - 親が 0 のとき → "01" に展開される → 奇数番目は 0、偶数番目は 1
+    - k が奇数 → 親と同じ値
+  - 親が 1 のとき → "10" に展開される → 奇数番目は 1、偶数番目は 0
+    - k が偶数 → 親を反転した値
+
+##### コード
+```py
+class Solution:
+    def kthGrammar(self, n: int, k: int) -> int:
+        if n == 1:
+            return 0
+        parent = self.kthGrammar(n - 1, (k + 1) // 2)
+        return parent if k % 2 == 1 else 1 - parent
+```
+- `(k + 1) // 2` は切り上げ計算
+- 時間計算量: $O(n)$
+  - 再帰の深さ・呼び出し回数
+- 空間計算量: $O(n)$
+  - 再帰スタック
+
+#### 方針2: ビット演算（Thue–Morse数列）
+- この数列はThue–Morse数列と呼ばれる（らしい）
+> `n` 行目 `k` 番目の記号 = `(k-1)` を2進数で表したときの 1の個数（`popcount`）の偶奇
+
+##### コード
+```py
+class Solution:
+    def kthGrammar(self, n: int, k: int) -> int:
+        return bin(k - 1).count("1") % 2
+```
+- 時間計算量: $O(\log k)$
+- 空間計算量: $O(1)$
+
+## Step2
+- 典型コメント集: https://docs.google.com/document/d/11HV35ADPo9QxJOpJQ24FcZvtvioli770WWdZZDaLOfg/edit?tab=t.0#heading=h.adit16u7jkla
+
+- https://github.com/hayashi-ay/leetcode/pull/46
+  - Python
+  - 愚直にやるとやはりMLEとなる
+  - `previous_value` は分かりやすい
+
+- https://github.com/hroc135/leetcode/pull/44
+  - Go
+  - $2^{29}$ 文字 ≈ 5億文字は、だいたい1GB
+    - cf. https://github.com/hroc135/leetcode/pull/44/changes#r2006672241
+
+## Step3
+### 方針1: 親子関係をたどる再帰
+```py
+class Solution:
+    def kthGrammar(self, n: int, k: int) -> int:
+        if n == 1:
+            return 0
+        parent = self.kthGrammar(n - 1, (k + 1) // 2)
+        return parent if k % 2 == 1 else 1 - parent
+```
+- 所要時間:
+  - 1回目: 1:26
+  - 2回目: 1:14
+  - 3回目: 1:20